Usando derivação implícita, calcule y' : tg(y) = x y

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação e precisamos encontrar a derivada de y em relação a x, representada por . Para isso, vamos usar derivação implícita, que é uma técnica para diferenciar equações onde y está misturado com x.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada parte da equação:

Passo 3

Vamos começar diferenciando o lado esquerdo, . Lembre-se que a derivada de em relação a u é , e como y é uma função de x, precisamos usar a regra da cadeia. Então:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar o lado direito, x y. Aqui, aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de é . Então:

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas que encontramos nos dois lados da equação:

Passo 6

Queremos isolar , então vamos trazer todos os termos que contêm para um lado da equação. Subtraímos de ambos os lados:

Passo 7

Agora, fatoramos no lado esquerdo:

Passo 8

Para encontrar , dividimos ambos os lados da equação por :

Resposta

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