Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
(f) lim x 1 f(x)-f(1)x-1, onde f(x)= x+1 & se x >= 1 2 x & se x<1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite . Esse tipo de limite é conhecido como a definição da derivada de uma função no ponto . Então, para resolver isso, a gente vai precisar saber como a função se comporta perto de e usar um pouco de cálculo de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x) = x + 1 & se x >= 1 2x & se x < 1 . Ela é definida de forma diferente para e para :
Isso significa que, para valores de próximos a 1, a função pode ter comportamentos diferentes dependendo se estamos vindo da direita ( ) ou da esquerda ( ) de 1.

Passo 3

Vamos calcular f(1) = 1 + 1 = 2 primeiro para saber o valor que aparece no numerador:
limx 1 f(x) - 2x - 1
Então, a expressão do limite fica:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite quando f(x) = x + 1 se aproxima de 1 pela direita ( limx 1^+ (x + 1) - 2x - 1 = limx 1^+ x - 1x - 1 = limx 1^+ 1 = 1 ):
Substituindo na expressão do limite:

Passo 5

Agora, vamos verificar o limite quando f(x) = 2x se aproxima de 1 pela esquerda ( limx 1^- 2x - 2x - 1 = limx 1^- 2(x - 1)x - 1 = limx 1^- 2 = 2 ):
Substituindo na expressão do limite:

Passo 6

Observamos que os limites pela direita e pela esquerda são diferentes:
limx 1^+ f(x)-f(1)x-1 = 1 e limx 1^- f(x)-f(1)x-1 = 2
Como os limites laterais não são iguais, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites pela direita e pela esquerda são diferentes.

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