Calcule
(k) lim x 7 raizx-raiz7raizx+7-raiz14

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente cálculo de limites envolvendo funções com radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada “racionalização”, que ajuda a simplificar expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, observamos que se substituirmos raiz7 - raiz7raiz14 - raiz14 = 00 diretamente na expressão, teremos:
Isso é uma forma indeterminada, então precisamos fazer uma manipulação para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos começar racionalizando o numerador. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é raizx - raiz7raizx+7 - raiz14 times raizx + raiz7raizx + raiz7 = (raizx)^2 - (raiz7)^2(raizx+7 - raiz14)(raizx + raiz7) :
x - 7(raizx+7 - raiz14)(raizx + raiz7)
Simplificando o numerador:

Passo 4

Agora, vamos racionalizar o denominador. Multiplicamos o denominador e o numerador pelo conjugado do denominador x - 7(raizx+7 - raiz14)(raizx + raiz7) times raizx+7 + raiz14raizx+7 + raiz14 = (x - 7)(raizx+7 + raiz14)(x + 7 - 14)(raizx + raiz7) :
(x - 7)(raizx+7 + raiz14)(x - 7)(raizx + raiz7)
Simplificando o denominador:

Passo 5

Percebemos que o termo raizx+7 + raiz14raizx + raiz7 aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar:

Passo 6

Agora, substituímos raiz7 + 7 + raiz14raiz7 + raiz7 = raiz14 + raiz14raiz7 + raiz7 = 2raiz142raiz7 = raiz14raiz7 = raiz147 = raiz2 na expressão simplificada:

Resposta

O limite vale .

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