Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
(j) lim x 2^- g(x)-g(2)x-2, onde g(x)= x^2 & se x<2 x^22 & se x >= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular , onde a função é definida de forma diferente para e . Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta perto de e usar conceitos de limites e funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de g(x) = x^2 & se x < 2 x^22 & se x >= 2 . Observando a definição da função:
g(2) = 2^22 = 42 = 2
Como , usamos a segunda parte da função:

Passo 3

Agora, vamos substituir limx 2^- g(x) - 2x - 2 na expressão do limite:
Como estamos calculando o limite quando se aproxima de pela esquerda ( ), isso significa que . Portanto, usaremos a primeira parte da função , que é .

Passo 4

Substituindo limx 2^- x^2 - 2x - 2 por na expressão do limite, temos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão . Podemos tentar fatorar o numerador, mas não é um polinômio que fatoramos facilmente. Então, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador conforme se aproxima de 2 pela esquerda.
  • Quando se aproxima de 2, se aproxima de , então se aproxima de .
  • O denominador se aproxima de pela esquerda, ou seja, valores negativos muito próximos a zero.

Passo 6

Agora, observamos que:
x^2 - 2x - 2 approx 2valor muito pequeno negativo
Isso significa que a fração está se tornando uma divisão de um número positivo por um número negativo que está se aproximando de zero. O resultado disso tende a .

Resposta

O limite não existe porque tende a .

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