Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
(j)
, onde
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular
, onde a função
é definida de forma diferente para
e
. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta perto de
e usar conceitos de limites e funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor de
. Observando a definição da função:
Como
, usamos a segunda parte da função:
Passo 3
Agora, vamos substituir
na expressão do limite:
Como estamos calculando o limite quando
se aproxima de
pela esquerda (
), isso significa que
. Portanto, usaremos a primeira parte da função
, que é
.
Passo 4
Substituindo
por
na expressão do limite, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão
. Podemos tentar fatorar o numerador, mas
não é um polinômio que fatoramos facilmente. Então, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador conforme
se aproxima de 2 pela esquerda.
- Quando
se aproxima de 2, se aproxima de , então se aproxima de . - O denominador
se aproxima de pela esquerda, ou seja, valores negativos muito próximos a zero.
Passo 6
Agora, observamos que:
Isso significa que a fração está se tornando uma divisão de um número positivo por um número negativo que está se aproximando de zero. O resultado disso tende a
.
Resposta
O limite
não existe porque tende a
.
Exercícios relacionados
Calcule
§ , onde
§
Encontre o limite.
Calcule
(g)
(g)
Determine o domínio da função e represente o domínio na reta real.