Encontre o limite.
lim u 1 u^4-1u^3+5 u^2-6 u

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite da expressão u^4-1u^3+5 u^2-6 u quando u se aproxima de 1. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de limites envolvendo polinômios e fatoração.

Passo 2

Vamos tentar substituir diretamente u = 1 na expressão para ver o que acontece:
1^4 - 11^3 + 5 cdot 1^2 - 6 cdot 1 = 1 - 11 + 5 - 6 = 00
Obtivemos uma forma indeterminada 00, o que nos indica que podemos simplificar a expressão fatorando o numerador e o denominador.

Passo 3

Vamos começar fatorando o numerador u^4 - 1. Observamos que é uma diferença de potências:
u^4 - 1 = (u^2)^2 - 1^2 = (u^2 - 1)(u^2 + 1)
Agora, podemos fatorar u^2 - 1 ainda mais:
u^2 - 1 = (u - 1)(u + 1)
Portanto, o numerador fatorado fica:
u^4 - 1 = (u - 1)(u + 1)(u^2 + 1)

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador u^3 + 5u^2 - 6u. Primeiro, colocamos u em evidência:
u^3 + 5u^2 - 6u = u(u^2 + 5u - 6)
Em seguida, fatoramos o polinômio quadrático u^2 + 5u - 6. Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e que somados dão 5. Esses números são 6 e -1:
u^2 + 5u - 6 = (u + 6)(u - 1)
Portanto, o denominador fatorado fica:
u^3 + 5u^2 - 6u = u(u + 6)(u - 1)

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
u^4-1u^3+5 u^2-6 u = (u - 1)(u + 1)(u^2 + 1)u(u + 6)(u - 1)
Podemos simplificar o termo (u - 1) que está no numerador e no denominador:
(u + 1)(u^2 + 1)u(u + 6)

Passo 6

Agora, substituímos u = 1 na expressão simplificada:
(1 + 1)(1^2 + 1)1 cdot (1 + 6) = 2 cdot 21 cdot 7 = 47

Resposta

O limite é 47.

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