Encontre o limite.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o limite da expressão
quando
se aproxima de 1. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de limites envolvendo polinômios e fatoração.
Passo 2
Vamos tentar substituir diretamente
na expressão para ver o que acontece:
Obtivemos uma forma indeterminada
, o que nos indica que podemos simplificar a expressão fatorando o numerador e o denominador.
Passo 3
Vamos começar fatorando o numerador
. Observamos que é uma diferença de potências:
Agora, podemos fatorar
ainda mais:
Portanto, o numerador fatorado fica:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o denominador
. Primeiro, colocamos
em evidência:
Em seguida, fatoramos o polinômio quadrático
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e que somados dão
. Esses números são
e
:
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 5
Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
Podemos simplificar o termo
que está no numerador e no denominador:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule
(k)
(k)
Encontre o limite.
Calcule
§ , onde
§
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
(j) , onde
(j)