Calcule
§ lim h 0 f(x+h)-f(x)h, onde f(x)=1x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular
lim h 0 f(x+h)-f(x)h,
onde .
Aqui, estamos lidando com o conceito de derivada na matéria de Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a definição de derivada e aplicar algumas operações algébricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir lim h 0 1(x+h)^2 - 1x^2h por na expressão do limite:

Passo 3

Agora, precisamos simplificar o numerador, que é a diferença entre as duas frações. Para isso, vamos encontrar um denominador comum:
1(x+h)^2 - 1x^2 = x^2 - (x+h)^2x^2(x+h)^2

Passo 4

Vamos expandir o termo (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 :
x^2 - (x^2 + 2xh + h^2)x^2(x+h)^2 = x^2 - x^2 - 2xh - h^2x^2(x+h)^2 = -2xh - h^2x^2(x+h)^2
Portanto, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos colocar isso de volta na expressão original do limite:
lim h 0 -2xh - h^2h cdot x^2(x+h)^2
Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por lim h 0 -2x - hx^2(x+h)^2 :

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o limite substituindo -2x - 0x^2(x+0)^2 = -2xx^2 cdot x^2 = -2xx^4 = -2x^3 por 0:

Resposta

O limite é igual a .

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