Calcule, caso exista. Se não existir, justifique:
lim x 2 g(x)-g(2)x-2 para g(x)= x, & x >= 2 x^22, & x<2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de g(x) - g(2)x - 2 quando x se aproxima de 2. Aqui, a função g(x) é definida de duas formas diferentes dependendo de x ser maior ou igual a 2, ou menor que 2. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada, que envolve limites como esse, e analisar o comportamento da função nas proximidades de x = 2.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é g(2). Como x = 2 está na parte onde x >= 2, temos:
g(2) = 2
Agora, vamos analisar a definição da função g(x) para x aproximando-se de 2 pela direita ( x >= 2) e pela esquerda ( x < 2).
Para x >= 2:
g(x) = x
Então, substituindo na expressão do limite:
g(x) - g(2)x - 2 = x - 2x - 2 = 1
Então, o limite pela direita é 1.
Para x < 2:
g(x) = x^22
Substituindo na expressão do limite:
g(x) - g(2)x - 2 = x^22 - 2x - 2 = x^2 - 42x - 2 = (x - 2)(x + 2)2(x - 2) = x + 22
Agora, calculamos o limite quando x se aproxima de 2:
limx 2^- x + 22 = 2 + 22 = 2
Então, o limite pela esquerda é 2.

Resposta

Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes (1 e 2, respectivamente), o limite limx 2 g(x)-g(2)x-2 não existe.

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