Encontre f'(x) e f''(x)
(b) f(x) = x^2 / (1 + 2x)

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a primeira e a segunda derivada da função . O conteúdo que vamos usar aqui é derivação, mais especificamente a Regra do Quociente, que é super útil quando temos uma fração envolvendo funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Para isso, usamos a Regra do Quociente, que diz que se você tem uma função na forma , a derivada é:
Aqui, e . Vamos derivar essas funções separadamente.

Passo 3

Calculando as derivadas de e :
Agora, aplicamos a Regra do Quociente:

Passo 4

Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo:
Então, a primeira derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Para isso, precisamos derivar . Podemos simplificar antes de derivar:
Vamos usar novamente a Regra do Quociente para derivar essa expressão.

Passo 6

Aplicando a Regra do Quociente para :
Então,

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Fatorando :
Simplificando mais,
Podemos fatorar :
Expandindo e simplificando os termos dentro dos colchetes:
Então, o numerador simplifica para:
E a segunda derivada fica:

Resposta

A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

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