Encontre
e
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a primeira e a segunda derivada da função
. O conteúdo que vamos usar aqui é derivação, mais especificamente a Regra do Quociente, que é super útil quando temos uma fração envolvendo funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. Para isso, usamos a Regra do Quociente, que diz que se você tem uma função na forma
, a derivada é:
Aqui,
e
. Vamos derivar essas funções separadamente.
Passo 3
Calculando as derivadas de
e
:
Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador:
Subtraindo:
Então, a primeira derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, precisamos derivar
. Podemos simplificar
antes de derivar:
Vamos usar novamente a Regra do Quociente para derivar essa expressão.
Passo 6
Aplicando a Regra do Quociente para
:
Então,
Passo 7
Vamos simplificar o numerador:
Fatorando
:
Simplificando mais,
Podemos fatorar
:
Expandindo e simplificando os termos dentro dos colchetes:
Então, o numerador simplifica para:
E a segunda derivada fica:
Resposta
A primeira derivada é:
E a segunda derivada é: