Se
e b são os comprimentos dos lados de um triângulo e
é o ângulo entre estes lados, então a área do triângulo pode ser calculado pela fórmula
Se o lado de comprimento a permanece constante igual a 12 cm , o lado de comprimento b está crescendo a uma taxa de
e a área do triângulo está crescendo a uma taxa de
, a que taxa varia o ângulo
quando
e
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um triângulo com dois lados de comprimentos
e
, e o ângulo entre eles é
. A área desse triângulo é dada pela fórmula:
Aqui,
cm é constante,
está aumentando a uma taxa de
cm/s, e a área
está aumentando a uma taxa de
cm²/s. Queremos descobrir a que taxa o ângulo
está variando (
) quando
cm e
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a fórmula da área em relação ao tempo
. Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia para isso. A fórmula é:
Como
é constante, a derivada fica:
Aqui, derivamos
usando a regra do produto, onde a derivada de
é
.
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação derivada:
Primeiro, calculamos
e
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 4
Vamos resolver para
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 30:
Resposta
A taxa de variação do ângulo
é
rad/s quando
cm e
.