0,8 pt Se a e b são os comprimentos dos lados de um triângulo e theta é o ângulo entre estes lados, então a área do triângulo pode ser calculado pela fórmula
A = a * b * sen(θ) / 2
Se o lado de comprimento a permanece constante igual a 12 cm , o lado de comprimento b está crescendo a uma taxa de 3 cm/s e a área do triângulo está crescendo a uma taxa de 4 raiz(3) cm^2 / s, a que taxa varia o ângulo theta quando b = 10 cm e theta = pi / 3 ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um triângulo com dois lados de comprimentos e , e o ângulo entre eles é . A área desse triângulo é dada pela fórmula:
Aqui, cm é constante, está aumentando a uma taxa de cm/s, e a área está aumentando a uma taxa de cm²/s. Queremos descobrir a que taxa o ângulo está variando ( ) quando cm e .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a fórmula da área em relação ao tempo . Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia para isso. A fórmula é:
Como é constante, a derivada fica:
Aqui, derivamos usando a regra do produto, onde a derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação derivada:
Primeiro, calculamos e :
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 4

Vamos resolver para :
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 30:

Resposta

A taxa de variação do ângulo é rad/s quando cm e .

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