, Calcule, caso exista. Se não existir, justifique:
a) lim x 2 g(x)-g(2)x-2 para g(x)= x, & x >= 2 x^22, & x<2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite onde a função é definida de duas maneiras:
  • Para ,
  • Para ,
Esse tipo de limite é parecido com a derivada da função no ponto . Vamos precisar entender como a função se comporta quando se aproxima de 2 por valores maiores e por valores menores que 2.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de g(2) = 2 . Como , usamos a primeira definição:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando lim x 2^+ g(x)-2x-2 se aproxima de 2 pela direita, ou seja, valores maiores que 2 ( lim x 2^+ x - 2x - 2 = lim x 2^+ 1 = 1 ):
Como nessa situação, . Substituindo na expressão:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando lim x 2^- g(x)-2x-2 se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, valores menores que 2 ( lim x 2^- x^22 - 2x - 2 ):
x^22 - 2 = x^2 - 42
Aqui, para lim x 2^- x^2 - 42x - 2 = lim x 2^- x^2 - 42(x - 2) , x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Substituindo na expressão:
lim x 2^- (x - 2)(x + 2)2(x - 2) = lim x 2^- x + 22
Vamos simplificar o numerador:
lim x 2^- x + 22 = 42 = 2
Então, a expressão fica:
Agora, fatorando :
Substituindo de novo:
Cancelando (já que ):

Resposta

Como os limites laterais são diferentes ( pela direita e pela esquerda), o limite não existe.

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