, Calcule, caso exista. Se não existir, justifique:
a) para

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite onde a função é definida de duas maneiras:
  • Para ,
  • Para ,
Esse tipo de limite é parecido com a derivada da função no ponto . Vamos precisar entender como a função se comporta quando se aproxima de 2 por valores maiores e por valores menores que 2.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Como , usamos a primeira definição:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela direita, ou seja, valores maiores que 2 ( ):
Como nessa situação, . Substituindo na expressão:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, valores menores que 2 ( ):
Aqui, para , . Substituindo na expressão:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:
Agora, fatorando :
Substituindo de novo:
Cancelando (já que ):

Resposta

Como os limites laterais são diferentes ( pela direita e pela esquerda), o limite não existe.

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