Considere a função
.
Encontre o maior subconjunto de
onde a função
está definida e diga para quais valores
é contínua. Justifique sua resposta.
Encontre o maior subconjunto de
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa descobrir para quais valores de
essa função está bem definida, ou seja, onde não rola nenhuma operação inválida como divisão por zero ou raízes de números negativos. Além disso, vamos ver onde a função é contínua. Para isso, vamos precisar saber sobre raízes, domínio de funções e condições de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da função:
. A gente precisa garantir que esse denominador não seja zero, porque não dá pra dividir por zero. Então, vamos resolver a equação:
Passo 3
Vamos analisar cada parte separadamente. O termo
é sempre positivo ou zero, já que o quadrado de qualquer número é positivo ou zero. A raiz quadrada
também é sempre positiva ou zero pelo mesmo motivo. Portanto, a soma desses dois termos nunca será zero, já que pelo menos um deles é positivo. Logo, o denominador nunca é zero para nenhum valor real de
.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o numerador:
. A raiz cúbica é definida para todo número real, inclusive para negativos. Como
é sempre positivo ou zero (já que qualquer número elevado a uma potência par é não negativo) e estamos somando 729, que é positivo, o conteúdo dentro da raiz cúbica é sempre positivo. Logo, a raiz cúbica está sempre definida para qualquer
real.
Passo 5
Resumindo, tanto o numerador quanto o denominador estão definidos para todos os números reais, e o denominador nunca é zero. Portanto, a função
está definida para todo
em
.
Passo 6
Agora, vamos verificar a continuidade. Uma função é contínua no seu domínio se ela não tiver nenhum “buraco”, “pulo” ou “assimptota”. Como vimos que
está definida para todo
e é composta por operações contínuas (raízes, potenciação, soma, divisão, etc.) que não causam descontinuidades, podemos concluir que
é contínua para todo
em
.
Resposta
O maior subconjunto de
onde a função
está definida é todo o conjunto dos números reais, e a função
é contínua para todos os valores de
em
.