Calcule, caso exista. Se não existir, justifique:
para

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para calcular o limite:
onde a função é definida de duas formas diferentes:
Então, vamos usar conceitos de limites e verificar se esse limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de . Olhando para a definição da função, como é maior ou igual a 2, usamos a primeira parte:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite pela direita, ou seja, quando se aproxima de 2 vindo de valores maiores que 2 ( ). Nesse caso, usamos:
Então, substituindo na expressão do limite:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite pela esquerda, ou seja, quando se aproxima de 2 vindo de valores menores que 2 ( ). Nesse caso, usamos:
Substituindo na expressão do limite:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora que temos os dois limites laterais:
  • Limite pela direita: 1
  • Limite pela esquerda: 2
Como os dois limites não são iguais, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são diferentes.

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Se e são funções contínuas com e , encontre .
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Resolva a integral .