Calcule, caso exista. Se não existir, justifique:
lim x 2 g(x)-g(2)x-2 para g(x)= x, & x >= 2 x^22, & x<2

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para calcular o limite:
lim x 2 g(x)-g(2)x-2
onde a função g(x)= x, & x >= 2 x^22, & x < 2 é definida de duas formas diferentes:
Então, vamos usar conceitos de limites e verificar se esse limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de g(2) = 2 . Olhando para a definição da função, como é maior ou igual a 2, usamos a primeira parte:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite pela direita, ou seja, quando g(x) = x se aproxima de 2 vindo de valores maiores que 2 ( lim x 2^+ g(x)-g(2)x-2 = lim x 2^+ x - 2x - 2 = lim x 2^+ 1 = 1 ). Nesse caso, usamos:
Então, substituindo na expressão do limite:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite pela esquerda, ou seja, quando g(x) = x^22 se aproxima de 2 vindo de valores menores que 2 ( lim x 2^- g(x)-g(2)x-2 = lim x 2^- x^22 - 2x - 2 ). Nesse caso, usamos:
x^22 - 2 = x^2 - 42 = (x - 2)(x + 2)2
Substituindo na expressão do limite:
lim x 2^- (x - 2)(x + 2)/2x - 2 = lim x 2^- x + 22 = 2 + 22 = 2
Vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora que temos os dois limites laterais:
  • Limite pela direita: 1
  • Limite pela esquerda: 2
Como os dois limites não são iguais, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são diferentes.

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