Mostre que o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
,
e
em torno de
é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região específica em torno da reta
é igual a
. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente o método dos discos ou cilindros para calcular volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar entender como configurar a integral que representa esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região que está sendo girada. As curvas que delimitam a região são
,
(que é o eixo x),
e
. Isso forma uma área sob a curva
entre
e
.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno da reta
, precisamos ajustar nosso método para levar em conta essa distância. Para isso, usaremos o método dos cilindros (também conhecido como método de cascas cilíndricas). A fórmula para o volume usando esse método é:
Passo 4
Aqui, a “altura” do cilindro é a função
e o “raio” é a distância de cada ponto da região até a reta
. Como nossa variável é
, o raio será
.
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula:
Para resolver essa integral, vamos expandir:
Passo 6
Calculando cada parte separadamente:
-
:
Usamos integração por partes, onde
e
. Então,
e
.
Avaliado de 0 a 1:
Avaliado de 0 a 1:
Passo 7
Somando os resultados:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique:
para
Se
e
são funções contínuas com
e
, encontre
.
Resolva a integral
.
Considere a região definida por
(b) Calcule o volume do sólido obtido ao girar a região
em torno do eixo
, caso seja finito.