Mostre que o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas , e em torno de é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região específica em torno da reta é igual a . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente o método dos discos ou cilindros para calcular volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar entender como configurar a integral que representa esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região que está sendo girada. As curvas que delimitam a região são , (que é o eixo x), e . Isso forma uma área sob a curva entre e .

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno da reta , precisamos ajustar nosso método para levar em conta essa distância. Para isso, usaremos o método dos cilindros (também conhecido como método de cascas cilíndricas). A fórmula para o volume usando esse método é:

Passo 4

Aqui, a “altura” do cilindro é a função e o “raio” é a distância de cada ponto da região até a reta . Como nossa variável é , o raio será .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula:
Para resolver essa integral, vamos expandir:

Passo 6

Calculando cada parte separadamente:
  1. :
Usamos integração por partes, onde e . Então, e .
Avaliado de 0 a 1:
Avaliado de 0 a 1:

Passo 7

Somando os resultados:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista. Se não existir, justifique:
para
Se e são funções contínuas com e , encontre .
Resolva a integral .
Considere a região definida por
(b) Calcule o volume do sólido obtido ao girar a região em torno do eixo , caso seja finito.