Mostre que o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y = e^x, y=0, x=1 e x = 0 em torno de x = -1 é 2 pi e.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região específica em torno da reta é igual a . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, mais especificamente o método dos discos ou cilindros para calcular volumes de sólidos de revolução. Vamos precisar entender como configurar a integral que representa esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região que está sendo girada. As curvas que delimitam a região são , (que é o eixo x), x = 0 e x = 1. Isso forma uma área sob a curva e^x entre x = 0 e x = 1.

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno da reta , precisamos ajustar nosso método para levar em conta essa distância. Para isso, usaremos o método dos cilindros (também conhecido como método de cascas cilíndricas). A fórmula para o volume usando esse método é:

Passo 4

Aqui, a “altura” do cilindro é a função e o “raio” é a distância de cada ponto da região até a reta . Como nossa variável é x, o raio será .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula:
Para resolver essa integral, vamos expandir:

Passo 6

Calculando cada parte separadamente:
  1. :
Usamos integração por partes, onde e . Então, e .
Avaliado de 0 a 1:
Avaliado de 0 a 1:

Passo 7

Somando os resultados:

Resposta

2 pi e

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