Resolva a integral integral -2 x+4(x^2+1)(x^2-2 x+1) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral -2x + 4(x^2 + 1)(x^2 - 2x + 1) , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com frações parciais. Vamos precisar separar a expressão em partes mais simples para integrar cada uma delas facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observa que x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 é um quadrado perfeito:
integral -2x + 4(x^2 + 1)(x - 1)^2 , dx
Então, nossa integral fica:
-2x + 4(x^2 + 1)(x - 1)^2 = Ax + Bx^2 + 1 + Cx - 1 + D(x - 1)^2
Agora, vamos usar a técnica de frações parciais para decompor essa fração. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum -2x + 4 = (Ax + B)(x - 1)^2 + C(x^2 + 1)(x - 1) + D(x^2 + 1) , temos:
-2x + 4 = (Ax + B)(x^2 - 2x + 1) + C(x^3 - x^2 + x - 1) + D(x^2 + 1)
Expandindo os termos do lado direito:
Agrupando os termos similares, obtemos um sistema de equações para encontrar , , e .

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações, encontramos:
A = 2, B = 1, C = -2, D = 1
Substituindo esses valores na decomposição original, temos:
-2x + 4(x^2 + 1)(x - 1)^2 = 2x + 1x^2 + 1 - 2x - 1 + 1(x - 1)^2

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 2x + 1x^2 + 1 , dx - 2 integral 1x - 1 , dx + integral 1(x - 1)^2 , dx
Para a primeira integral, podemos separar:
integral 2xx^2 + 1 , dx + integral 1x^2 + 1 , dx = ln(x^2 + 1) + arctan(x)
A segunda integral é uma integral logarítmica básica:
-2 ln|x - 1|
E a terceira integral é uma potência negativa:
integral 1(x - 1)^2 , dx = -1x - 1

Resposta

Juntando tudo, a integral resolvida é:
ln(x^2 + 1) + arctan(x) - 2,ln|x - 1| - 1x - 1 + C
onde é a constante de integração.

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