Resolva a integral
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com frações parciais. Vamos precisar separar a expressão em partes mais simples para integrar cada uma delas facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observa que
é um quadrado perfeito:
Então, nossa integral fica:
Agora, vamos usar a técnica de frações parciais para decompor essa fração. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum
, temos:
Expandindo os termos do lado direito:
Agrupando os termos similares, obtemos um sistema de equações para encontrar
,
,
e
.
Passo 4
Resolvendo o sistema de equações, encontramos:
Substituindo esses valores na decomposição original, temos:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Para a primeira integral, podemos separar:
A segunda integral é uma integral logarítmica básica:
E a terceira integral é uma potência negativa:
Resposta
Juntando tudo, a integral resolvida é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Mostre que o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
,
e
em torno de
é
.
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique:
para
Considere a região definida por
(b) Calcule o volume do sólido obtido ao girar a região
em torno do eixo
, caso seja finito.
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