Resolva a integral .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com frações parciais. Vamos precisar separar a expressão em partes mais simples para integrar cada uma delas facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observa que é um quadrado perfeito:
Então, nossa integral fica:
Agora, vamos usar a técnica de frações parciais para decompor essa fração. Assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum , temos:
Expandindo os termos do lado direito:
Agrupando os termos similares, obtemos um sistema de equações para encontrar , , e .

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações, encontramos:
Substituindo esses valores na decomposição original, temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Para a primeira integral, podemos separar:
A segunda integral é uma integral logarítmica básica:
E a terceira integral é uma potência negativa:

Resposta

Juntando tudo, a integral resolvida é:
onde é a constante de integração.

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para
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