Calcule, caso exista. Se não existir, justifique:
lim x 0 x|x|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de x|x| quando x se aproxima de 0. Esse problema está na matéria de Cálculo Diferencial e Integral, mais especificamente em limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um limite, especialmente quando a função se comporta de forma diferente dos lados esquerdo e direito do ponto em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função x|x|. O valor absoluto de x, representado por |x|, é sempre positivo ou zero, independente de x ser positivo ou negativo. Então, vamos ver como a função se comporta para valores de x que se aproximam de 0 pela direita (valores positivos) e pela esquerda (valores negativos).

Passo 3

Quando x se aproxima de 0 pela direita, ou seja, x > 0, temos que |x| = x. Portanto, a função fica:
x|x| = xx = 1
Então, o limite pela direita é 1.

Passo 4

Agora, vamos considerar x se aproximando de 0 pela esquerda, ou seja, x < 0. Nesse caso, |x| = -x, já que o valor absoluto de um número negativo é seu oposto positivo. Assim, a função fica:
x|x| = x-x = -1
Portanto, o limite pela esquerda é -1.

Passo 5

Para que o limite geral limx 0 x|x| exista, os limites laterais (pela direita e pela esquerda) precisam ser iguais. No nosso caso, vimos que:
limx 0^+ x|x| = 1 e limx 0^- x|x| = -1
Como 1 neq -1, os limites laterais não são iguais.

Resposta

O limite limx 0 x|x| não existe, pois os limites laterais são diferentes.

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