Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
lim x 1 f(x)-f(1)x-1 onde f(x)=lllx+1 & se & x >= 1 2 x & se & x<1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite de f(x) - f(1)x - 1 quando x se aproxima de 1. Isso está relacionado ao conceito de derivada em cálculo, que mede a taxa de variação de uma função em um ponto. Para resolver, precisamos ver como a função f(x) se comporta perto de x = 1.

Passo 2

Vamos encontrar o valor de f(1). A função f(x) é definida por partes:
f(x) = x + 1 & se x >= 1 2x & se x < 1
Como x = 1 é incluído na primeira parte, temos:
f(1) = 1 + 1 = 2

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite pela direita ( x 1^+) e pela esquerda ( x 1^-) para ver se eles são iguais.
Pela direita ( x >= 1):
limx 1^+ f(x) - f(1)x - 1 = limx 1^+ (x + 1) - 2x - 1 = limx 1^+ x - 1x - 1 = limx 1^+ 1 = 1
Pela esquerda ( x < 1):
limx 1^- f(x) - f(1)x - 1 = limx 1^- 2x - 2x - 1 = limx 1^- 2(x - 1)x - 1 = limx 1^- 2 = 2

Resposta

O limite não existe porque os limites pela direita e pela esquerda são diferentes: 1 e 2.

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