Decida se a sequência (a_n)_{n ∈ N} converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: a_n = raiz(n^2 + 3n + 1) - n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência converge quando cresce para o infinito. Para isso, vamos usar alguns conceitos de limites e simplificação de expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz: . Quando fica muito grande, os termos de menor grau (como e ) são menos significativos comparados a . Então, para facilitar, podemos fatorar de dentro da raiz:

Passo 3

Agora, vamos substituir isso de volta na expressão original da sequência:
Podemos fatorar o na frente:

Passo 4

Para simplificar ainda mais, vamos considerar o limite quando tende ao infinito. Quando fica muito grande, e se aproximam de zero. Então, podemos aproximar a expressão dentro da raiz:
Isso vem da aproximação binomial para raízes quadradas quando os termos adicionais são pequenos.

Passo 5

Substituindo essa aproximação de volta, temos:

Resposta

A sequência converge para .

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