Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência
converge quando
cresce para o infinito. Para isso, vamos usar alguns conceitos de limites e simplificação de expressões com raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz:
. Quando
fica muito grande, os termos de menor grau (como
e
) são menos significativos comparados a
. Então, para facilitar, podemos fatorar
de dentro da raiz:
Passo 3
Agora, vamos substituir isso de volta na expressão original da sequência:
Podemos fatorar o
na frente:
Passo 4
Para simplificar ainda mais, vamos considerar o limite quando
tende ao infinito. Quando
fica muito grande,
e
se aproximam de zero. Então, podemos aproximar a expressão dentro da raiz:
Isso vem da aproximação binomial para raízes quadradas quando os termos adicionais são pequenos.
Passo 5
Substituindo essa aproximação de volta, temos:
Resposta
A sequência
converge para
.
Exercícios relacionados
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: (d)
, então
.
Mostre (utilizando somente a definição de convergência) que as sequências
, cujos termos gerais são dados abaixo, são convergentes:
.
Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
onde