Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência converge quando cresce para o infinito. Para isso, vamos usar alguns conceitos de limites e simplificação de expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz: . Quando fica muito grande, os termos de menor grau (como e ) são menos significativos comparados a . Então, para facilitar, podemos fatorar de dentro da raiz:

Passo 3

Agora, vamos substituir isso de volta na expressão original da sequência:
Podemos fatorar o na frente:

Passo 4

Para simplificar ainda mais, vamos considerar o limite quando tende ao infinito. Quando fica muito grande, e se aproximam de zero. Então, podemos aproximar a expressão dentro da raiz:
Isso vem da aproximação binomial para raízes quadradas quando os termos adicionais são pequenos.

Passo 5

Substituindo essa aproximação de volta, temos:

Resposta

A sequência converge para .

Exercícios relacionados

Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: (d) , então .
Mostre (utilizando somente a definição de convergência) que as sequências , cujos termos gerais são dados abaixo, são convergentes: .
Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
onde