Decida se a sequência (a_n)_{n ∈ N} converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: a_n = (n cos n) / (n^2 + 1).

Passo 1

Então, a gente tem que decidir se a sequência converge ou não. A matéria que vamos usar aqui é sobre convergência de sequências, especificamente analisando o limite quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como o numerador e o denominador se comportam à medida que cresce e aplicar o teorema do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos da sequência:
  • O numerador é . Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, .
  • O denominador é . À medida que cresce, cresce muito mais rápido que , então o denominador tende a infinito.

Passo 3

Agora, como o cosseno está limitado entre -1 e 1, podemos multiplicar essa desigualdade por :
Então, dividindo todos os lados por que é sempre positivo, temos:

Passo 4

Vamos agora analisar os limites das expressões das extremidades quando tende ao infinito:
Assim, tanto quanto tendem a 0.

Passo 5

Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperfeiçoada), se uma sequência está “encostada” entre duas sequências que tendem ao mesmo limite, então ela própria tende a esse limite. Como vimos que:
E ambas as extremidades tendem a 0, então:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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