Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
Passo 1
Então, a gente tem que decidir se a sequência
converge ou não. A matéria que vamos usar aqui é sobre convergência de sequências, especificamente analisando o limite quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como o numerador e o denominador se comportam à medida que
cresce e aplicar o teorema do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os termos da sequência:
-
O numerador é
. Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, . -
O denominador é
. À medida que cresce, cresce muito mais rápido que , então o denominador tende a infinito.
Passo 3
Agora, como o cosseno está limitado entre -1 e 1, podemos multiplicar essa desigualdade por
:
Então, dividindo todos os lados por
que é sempre positivo, temos:
Passo 4
Vamos agora analisar os limites das expressões das extremidades quando
tende ao infinito:
Assim, tanto
quanto
tendem a 0.
Passo 5
Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperfeiçoada), se uma sequência está “encostada” entre duas sequências que tendem ao mesmo limite, então ela própria tende a esse limite. Como vimos que:
E ambas as extremidades tendem a 0, então:
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta: (d)
, então
.
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
onde
Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: (b) Se
e
são divergentes, então
diverge.