Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro:

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde a gente precisa usar o polinômio de Taylor de ordem 2 para calcular uma aproximação de e também avaliar o erro dessa aproximação. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente polinômios de Taylor, que são uma forma de aproximar funções usando polinômios. Vamos precisar saber como construir o polinômio de Taylor e como estimar o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função em torno de . A fórmula geral do polinômio de Taylor de -ésima ordem para uma função em torno de é:
Como queremos o polinômio de ordem 2 e , temos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de necessárias:
Agora, avaliamos essas derivadas em :

Passo 4

Substituindo esses valores no polinômio de Taylor de ordem 2:

Passo 5

Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar :

Passo 6

Para avaliar o erro dessa aproximação, usamos o termo de erro do polinômio de Taylor, que para a função é dado por:
Onde está entre 0 e . A terceira derivada de é , e como , temos:
Substituindo :

Resposta

Aproximando pelo polinômio de Taylor de ordem 2, obtemos . O erro dessa aproximação é no máximo aproximadamente .

Exercícios relacionados

Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: (b) Se e são divergentes, então diverge.
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
onde
Resolva: ,
Resolva: constante .