Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde a gente precisa usar o polinômio de Taylor de ordem 2 para calcular uma aproximação de
e também avaliar o erro dessa aproximação. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente polinômios de Taylor, que são uma forma de aproximar funções usando polinômios. Vamos precisar saber como construir o polinômio de Taylor e como estimar o erro dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função
em torno de
. A fórmula geral do polinômio de Taylor de
-ésima ordem para uma função
em torno de
é:
Como queremos o polinômio de ordem 2 e
, temos:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
necessárias:
Agora, avaliamos essas derivadas em
:
Passo 4
Substituindo esses valores no polinômio de Taylor de ordem 2:
Passo 5
Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar
:
Passo 6
Para avaliar o erro dessa aproximação, usamos o termo de erro do polinômio de Taylor, que para a função
é dado por:
Onde
está entre 0 e
. A terceira derivada de
é
, e como
, temos:
Substituindo
:
Resposta
Aproximando
pelo polinômio de Taylor de ordem 2, obtemos
. O erro dessa aproximação é no máximo aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: (b) Se
e
são divergentes, então
diverge.
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
onde
Resolva:
,
Resolva:
constante
.