Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro: cos(0.01)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde a gente precisa usar o polinômio de Taylor de ordem 2 para calcular uma aproximação de cos(0.01) e também avaliar o erro dessa aproximação. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente polinômios de Taylor, que são uma forma de aproximar funções usando polinômios. Vamos precisar saber como construir o polinômio de Taylor e como estimar o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função cos(x) em torno de x = 0. A fórmula geral do polinômio de Taylor de n-ésima ordem para uma função f(x) em torno de a é:
Como queremos o polinômio de ordem 2 e , temos:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de cos(x) necessárias:
Agora, avaliamos essas derivadas em x = 0:

Passo 4

Substituindo esses valores no polinômio de Taylor de ordem 2:

Passo 5

Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar cos(0.01):

Passo 6

Para avaliar o erro dessa aproximação, usamos o termo de erro do polinômio de Taylor, que para a função cos(x) é dado por:
Onde xi está entre 0 e x. A terceira derivada de cos(x) é , e como , temos:
Substituindo :

Resposta

Aproximando cos(0.01) pelo polinômio de Taylor de ordem 2, obtemos . O erro dessa aproximação é no máximo aproximadamente .

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