Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: (b) Se
e
são divergentes, então
diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação para analisar: “Se as sequências
e
são divergentes, então a sequência
também diverge.” Isso está dentro do estudo de Sequências Numéricas e vamos precisar entender o que significa uma sequência ser divergente e como o produto de duas sequências se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma sequência divergente. Uma sequência
é divergente se não converge para nenhum número real. Ou seja, ela não se aproxima de nenhum valor específico quando
cresce.
Passo 3
Agora, a afirmação diz que se duas sequências
e
não convergem, então o produto delas
também não converge. Vamos ver se isso é sempre verdade ou se existe algum caso onde o produto pode sim convergir mesmo que as duas sequências não.
Passo 4
Para testar a afirmação, vamos tentar encontrar um contraexemplo. Ou seja, precisamos achar duas sequências divergentes cujo produto
converge.
Passo 5
Considere as seguintes sequências:
-
: Essa sequência alterna entre 1 e -1. Ela não converge porque não se aproxima de nenhum valor específico. -
: Mesma sequência que alterna entre 1 e -1, também não converge.
Passo 6
Vamos calcular o produto dessas duas sequências:
Já que
para qualquer
, a sequência
é constante igual a 1. Isso significa que ela sempre converge para 1.
Passo 7
Então, mesmo que as sequências
e
sejam divergentes, o produto
converge. Isso mostra que a afirmação original não é sempre verdadeira.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é dado pelas sequências
e
, que são divergentes, mas o produto
converge para 1.
Exercícios relacionados
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
onde
Decida se a sequência
converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite:
.
Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro:
Resolva:
,