Prove ou dê um contra-exemplo para cada uma das afirmações abaixo: (b) Se e são divergentes, então diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação para analisar: “Se as sequências e são divergentes, então a sequência também diverge.” Isso está dentro do estudo de Sequências Numéricas e vamos precisar entender o que significa uma sequência ser divergente e como o produto de duas sequências se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma sequência divergente. Uma sequência é divergente se não converge para nenhum número real. Ou seja, ela não se aproxima de nenhum valor específico quando cresce.

Passo 3

Agora, a afirmação diz que se duas sequências e não convergem, então o produto delas também não converge. Vamos ver se isso é sempre verdade ou se existe algum caso onde o produto pode sim convergir mesmo que as duas sequências não.

Passo 4

Para testar a afirmação, vamos tentar encontrar um contraexemplo. Ou seja, precisamos achar duas sequências divergentes cujo produto converge.

Passo 5

Considere as seguintes sequências:
  • : Essa sequência alterna entre 1 e -1. Ela não converge porque não se aproxima de nenhum valor específico.
  • : Mesma sequência que alterna entre 1 e -1, também não converge.

Passo 6

Vamos calcular o produto dessas duas sequências:
Já que para qualquer , a sequência é constante igual a 1. Isso significa que ela sempre converge para 1.

Passo 7

Então, mesmo que as sequências e sejam divergentes, o produto converge. Isso mostra que a afirmação original não é sempre verdadeira.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é dado pelas sequências e , que são divergentes, mas o produto converge para 1.

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
onde
Decida se a sequência converge ou não e, em caso afirmativo, encontre o limite: .
Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro:
Resolva: ,