Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
lim x 1 f(x)-f(1)x-1 em que f(x)= x+1 & se x >= 1 2 x & se x<1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite onde a função é definida de forma diferente para e para . O conteúdo aqui envolve limites e funções definidas por partes. Vamos precisar analisar o limite pela direita e pela esquerda de 1 para ver se o limite geral existe.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de . Olhando para a definição da função:
Para , .
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando lim x 1^+ (x + 1) - 2x - 1 = lim x 1^+ x + 1 - 2x - 1 = lim x 1^+ x - 1x - 1 se aproxima de 1 vindo dos valores maiores que 1 ( lim x 1^+ 1 = 1 ).
Nessa região ( ), .
Substituindo na expressão do limite:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, quando lim x 1^- 2x - 2x - 1 = lim x 1^- 2(x - 1)x - 1 se aproxima de 1 vindo dos valores menores que 1 ( lim x 1^- 2 = 2 ).
Nessa região ( ), .
Substituindo na expressão do limite:
Simplificando:

Passo 5

Agora, comparamos os limites pela direita e pela esquerda:
lim x 1^+ f(x)-f(1)x-1 = 1
lim x 1^- f(x)-f(1)x-1 = 2
Como os dois limites laterais são diferentes ( ), o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois os limites laterais são diferentes.

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