Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(u)
(u)
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites de funções exponenciais, uma parte importante do Cálculo Diferencial e Integral. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam os limites envolvendo potências e exponenciais, além de utilizar propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite:
. Quando
tende ao infinito,
tende a zero. Então, estamos lidando com uma expressão do tipo
.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos transformar a expressão usando o logaritmo natural. Sabemos que
. Então, vamos definir:
Aplicando o logaritmo natural:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite do lado direito. Para isso, usamos uma aproximação para
quando
é muito pequeno:
Aqui,
, que realmente tende a zero conforme
tende ao infinito. Substituindo na aproximação:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão de
:
Distribuindo
:
Passo 6
Agora, avaliamos o limite:
Portanto:
Passo 7
Para encontrar
, elevamos
a ambos os lados da equação: