Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(u) lim x +infty(1+1x^2)^x^2

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites de funções exponenciais, uma parte importante do Cálculo Diferencial e Integral. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam os limites envolvendo potências e exponenciais, além de utilizar propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do limite: . Quando tende ao infinito, tende a zero. Então, estamos lidando com uma expressão do tipo .

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos transformar a expressão usando o logaritmo natural. Sabemos que L = limx +infty (1+1x^2)^x^2 . Então, vamos definir:
ln(L) = limx +infty x^2 cdot ln(1+1x^2)
Aplicando o logaritmo natural:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite do lado direito. Para isso, usamos uma aproximação para ln(1 + y) approx y - y^22 quando ln(1+1x^2) approx 1x^2 - 12x^4 é muito pequeno:
Aqui, , que realmente tende a zero conforme tende ao infinito. Substituindo na aproximação:

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão de ln(L) approx limx +infty x^2 ( 1x^2 - 12x^4 ) :
ln(L) approx limx +infty (1 - 12x^2)
Distribuindo :

Passo 6

Agora, avaliamos o limite:
limx +infty (1 - 12x^2) = 1 - 0 = 1
Portanto:
ln(L) = 1

Passo 7

Para encontrar L = e^ln(L) = e^1 = e , elevamos a ambos os lados da equação:

Resposta

lim x +infty(1+1x^2)^x^2 = e

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