Determinar a aproximação linear das seguintes funções, no ponto dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a aproximação linear da função
no ponto
. Isso envolve conhecimento de cálculo, especificamente derivadas parciais e a ideia de aproximação linear (também conhecida como a reta tangente no ponto). Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
:
Isso nos dá o valor da função no ponto específico onde queremos a aproximação linear.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 4
Com essas informações, podemos montar a aproximação linear usando a fórmula:
Substituindo
,
,
,
e
, temos:
Simplificando:
Resposta
A aproximação linear da função no ponto
é: