Determinar a aproximação linear das seguintes funções, no ponto dado. f(x, y) = tg^(-1)(x + 2y), (1, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a aproximação linear da função no ponto . Isso envolve conhecimento de cálculo, especificamente derivadas parciais e a ideia de aproximação linear (também conhecida como a reta tangente no ponto). Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto :
Isso nos dá o valor da função no ponto específico onde queremos a aproximação linear.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 4

Com essas informações, podemos montar a aproximação linear usando a fórmula:
Substituindo , , , e , temos:
Simplificando:

Resposta

A aproximação linear da função no ponto é:

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