Calcule, caso exista, os seguintes limites:
© , onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: , onde está entre e ou acima de . Aqui, a gente vai usar conceitos de funções exponenciais e limites. Precisamos entender como a função se comporta perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever usando a base , que é a base dos logaritmos naturais. Lembra que qualquer número pode ser escrito como elevado ao logaritmo natural de . Então:
Aqui, é o logaritmo natural de .

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão de no limite original:

Passo 4

Sabemos de cálculo que:
Onde é uma constante. No nosso caso, . Isso porque, quando se aproxima de , a diferença se comporta linearmente com .

Passo 5

Aplicando essa propriedade ao nosso limite:

Resposta

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Determine uma função para que a seguinte equação diferencial seja exata:
Analise a continuidade das seguintes funções:
(m)
Sabendo que para cada tem-se que se tal limite existe, calcule, se possível, em cada caso a seguir:
(a)
Sejam e duas funções contínuas em e constante. Prove que:
© é contínua em