Calcule, caso exista, os seguintes limites:
© lim x 0 a^x-1x, onde a in(0,1) cup(1,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: , onde está entre e ou acima de . Aqui, a gente vai usar conceitos de funções exponenciais e limites. Precisamos entender como a função se comporta perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a^x = e^x cdot ln(a) usando a base , que é a base dos logaritmos naturais. Lembra que qualquer número pode ser escrito como elevado ao logaritmo natural de . Então:
Aqui, é o logaritmo natural de .

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão de lim x 0 e^x cdot ln(a) - 1x no limite original:

Passo 4

Sabemos de cálculo que:
limx to 0 e^kx - 1x = k
Onde é uma constante. No nosso caso, . Isso porque, quando se aproxima de , a diferença se comporta linearmente com .

Passo 5

Aplicando essa propriedade ao nosso limite:
lim x 0 e^x cdot ln(a) - 1x = ln(a)

Resposta

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