Sabendo que para cada tem-se que se tal limite existe, calcule, se possível, em cada caso a seguir:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função seno usando a definição de derivada. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivada através de limites. Para isso, vamos precisar trabalhar com limites e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada de uma função em um ponto . A derivada é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite dessa expressão quando se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função na expressão da derivada:

Passo 4

Para simplificar essa expressão, vamos usar a identidade trigonométrica da diferença de cossenos:
Substituindo na expressão da derivada:
Podemos simplificar isso dividindo e multiplicando por 2:

Passo 5

Sabemos de limites conhecidos que:
E também que:
Multiplicando esses limites, temos:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Calcule, caso exista, os seguintes limites:
© , onde
Determine uma função para que a seguinte equação diferencial seja exata:
Sejam e duas funções contínuas em e constante. Prove que:
© é contínua em
Calcule , onde está está acima do paraboloide e abaixo do plano . Utilize a Tabela de Integrais (veja as Páginas de Referência) ou um sistema de computação algébrica para calcular a integral.