Sabendo que para cada
tem-se que
se tal limite existe, calcule, se possível,
em cada caso a seguir:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função seno usando a definição de derivada. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivada através de limites. Para isso, vamos precisar trabalhar com limites e algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada de uma função
em um ponto
. A derivada
é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite dessa expressão quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função
na expressão da derivada:
Passo 4
Para simplificar essa expressão, vamos usar a identidade trigonométrica da diferença de cossenos:
Substituindo na expressão da derivada:
Podemos simplificar isso dividindo e multiplicando por 2:
Passo 5
Sabemos de limites conhecidos que:
E também que:
Multiplicando esses limites, temos:
Resposta
A derivada da função
é: