Sabendo que para cada x0 in Dom(f) tem-se que f^prime(x0)=lim x x0 f(x)-f(x0)x-x0=lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h se tal limite existe, calcule, se possível, f^prime(x0) em cada caso a seguir:
(a) f(x)=sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função seno usando a definição de derivada. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivada através de limites. Para isso, vamos precisar trabalhar com limites e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada de uma função f'(x0) = limh to 0 f(x0 + h) - f(x0)h em um ponto . A derivada é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite dessa expressão quando se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função f'(x0) = limh to 0 sin(x0 + h) - sin(x0)h na expressão da derivada:

Passo 4

Para simplificar essa expressão, vamos usar a identidade trigonométrica da diferença de cossenos:
sin(x0 + h) - sin(x0) = 2 cos(x0 + h2) sin(h2)
Substituindo na expressão da derivada:
f'(x0) = limh to 0 2 cos(x0 + h2) sin(h2)h
Podemos simplificar isso dividindo e multiplicando por 2:
f'(x0) = limh to 0 cos(x0 + h2) cdot sin(h2)h2

Passo 5

Sabemos de limites conhecidos que:
limh to 0 sin(h2)h2 = 1
E também que:
limh to 0 cos(x0 + h2) = cos(x0)
Multiplicando esses limites, temos:
f'(x0) = cos(x0) times 1 = cos(x0)

Resposta

A derivada da função f'(x0) = cos(x0) é:

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