Sejam f e g duas funções contínuas em a pertence a Dom(f) interseccao Dom(g) e k pertence aos reais constante. Prove que:
© f * g é contínua em a

Passo 1

Vamos resolver o problema de provar que o produto de duas funções contínuas, e , também é contínuo no ponto . Vamos usar conceitos de continuidade de funções e propriedades de limites para chegar à conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
Isso quer dizer que o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função em .

Passo 3

Como as funções e são contínuas em , podemos escrever:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o limite do produto quando se aproxima de . Usamos a propriedade dos limites que nos diz que o limite do produto é igual ao produto dos limites, desde que os limites existam:

Passo 5

Substituindo os limites que já sabemos:
Isso mostra que o limite do produto é igual ao valor do produto das funções em .

Resposta

Portanto, é contínua em .

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