Sejam e duas funções contínuas em e constante. Prove que:
© é contínua em

Passo 1

Vamos resolver o problema de provar que o produto de duas funções contínuas, e , também é contínuo no ponto . Vamos usar conceitos de continuidade de funções e propriedades de limites para chegar à conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
Isso quer dizer que o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função em .

Passo 3

Como as funções e são contínuas em , podemos escrever:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o limite do produto quando se aproxima de . Usamos a propriedade dos limites que nos diz que o limite do produto é igual ao produto dos limites, desde que os limites existam:

Passo 5

Substituindo os limites que já sabemos:
Isso mostra que o limite do produto é igual ao valor do produto das funções em .

Resposta

Portanto, é contínua em .

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Sabendo que para cada tem-se que se tal limite existe, calcule, se possível, em cada caso a seguir:
(a)
Calcule, caso exista, os seguintes limites:
© , onde
Calcule , onde está está acima do paraboloide e abaixo do plano . Utilize a Tabela de Integrais (veja as Páginas de Referência) ou um sistema de computação algébrica para calcular a integral.
Analise a continuidade das seguintes funções:
(f)