Sejam
e
duas funções contínuas em
e
constante. Prove que:
©
é contínua em
©
Passo 1
Vamos resolver o problema de provar que o produto de duas funções contínuas,
e
, também é contínuo no ponto
. Vamos usar conceitos de continuidade de funções e propriedades de limites para chegar à conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
Isso quer dizer que o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função em
.
Passo 3
Como as funções
e
são contínuas em
, podemos escrever:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o limite do produto
quando
se aproxima de
. Usamos a propriedade dos limites que nos diz que o limite do produto é igual ao produto dos limites, desde que os limites existam:
Passo 5
Substituindo os limites que já sabemos:
Isso mostra que o limite do produto é igual ao valor do produto das funções em
.
Resposta
Portanto,
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Sabendo que para cada
tem-se que
se tal limite existe, calcule, se possível,
em cada caso a seguir:
(a)
(a)
Calcule, caso exista, os seguintes limites:
© , onde
©
Calcule
, onde
está está acima do paraboloide
e abaixo do plano
. Utilize a Tabela de Integrais (veja as Páginas de Referência) ou um sistema de computação algébrica para calcular a integral.
Analise a continuidade das seguintes funções:
(f)
(f)