Determine uma função
para que a seguinte equação diferencial seja exata:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. O objetivo aqui é encontrar a função
que faz essa equação ser exata. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como aplicar esse conceito passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Na equação dada:
A função que está na frente de
é o
:
E a gente precisa encontrar o
que faz a equação ser exata.
Passo 3
Agora, para que a equação seja exata, deve valer que a derivada parcial de
em relação a
seja igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja:
Vamos calcular
.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Aqui usamos a regra do quociente:
Então, somando os dois:
Passo 5
Sabendo que
, temos:
Agora, para encontrar
, vamos integrar essa expressão em relação a
.
Passo 6
Integrando termo a termo:
Primeiro,
:
Segundo,
:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Deixe
, então
ou
.
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Juntando os dois resultados da integração:
Aqui,
é uma função que depende só de
. Mas, para que a equação seja exata,
deve ser zero (ou uma constante que pode ser ignorada no contexto da equação exata).
Resposta
A função
que torna a equação diferencial exata é: