Determine uma função N(x, y) para que a seguinte equação diferencial seja exata:
(y^(1/2) * x^(-1/2) + x/(x^2 + y)) dx + N(x, y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . O objetivo aqui é encontrar a função que faz essa equação ser exata. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como aplicar esse conceito passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Na equação dada:
A função que está na frente de é o :
E a gente precisa encontrar o que faz a equação ser exata.

Passo 3

Agora, para que a equação seja exata, deve valer que a derivada parcial de em relação a seja igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja:
Vamos calcular .

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Primeiro termo:
Segundo termo:
Aqui usamos a regra do quociente:
Então, somando os dois:

Passo 5

Sabendo que , temos:
Agora, para encontrar , vamos integrar essa expressão em relação a .

Passo 6

Integrando termo a termo:
Primeiro, :
Segundo, :
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Deixe , então ou .
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Juntando os dois resultados da integração:
Aqui, é uma função que depende só de . Mas, para que a equação seja exata, deve ser zero (ou uma constante que pode ser ignorada no contexto da equação exata).

Resposta

A função que torna a equação diferencial exata é:

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