Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(k) lim x 1^+ sen(x^2-1)1-cos (raizx^2-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita da função . Isso envolve conceitos de limites em cálculo, especialmente quando a gente lida com funções trigonométricas e suas propriedades perto de pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando x^2 - 1 0 se aproxima de 1 pela direita.
Quando raizx^2 - 1 raiz0 = 0 tende a 1, tende a , porque . Então, temos que:
e

Passo 3

Agora, substituindo limh 0^+ sin(h)1 - cos(raizh) por uma variável, digamos , que tende a 0. Assim, nosso limite fica:

Passo 4

Para resolver esse limite, lembramos que para sin(h) approx h e 1 - cos(raizh) approx (raizh)^22 = h2 próximo de 0:
Essas aproximações vêm das expansões de séries de Taylor para as funções seno e cosseno perto de 0.

Passo 5

Substituindo essas aproximações na nossa expressão, temos:
sin(h)1 - cos(raizh) approx hh2 = 2

Resposta

Portanto, o limite é igual a 2.
lim x 1^+ sin(x^2-1)1-cos (raizx^2-1) = 2

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