Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 1 pela direita da função
. Isso envolve conceitos de limites em cálculo, especialmente quando a gente lida com funções trigonométricas e suas propriedades perto de pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 1 pela direita.
Quando
tende a 1,
tende a
, porque
. Então, temos que:
e
Passo 3
Agora, substituindo
por uma variável, digamos
, que tende a 0. Assim, nosso limite fica:
Passo 4
Para resolver esse limite, lembramos que para
próximo de 0:
Essas aproximações vêm das expansões de séries de Taylor para as funções seno e cosseno perto de 0.
Passo 5
Substituindo essas aproximações na nossa expressão, temos:
Resposta
Portanto, o limite é igual a 2.