Calcule, caso exista, os seguintes limites: lim (x, y) (0,0) 2 x yx^2+y^2

Passo 1

Vamos calcular o limite . Aqui, estamos lidando com o conteúdo de limites em duas variáveis, especificamente analisando o comportamento da função à medida que os pontos se aproximam de .

Passo 2

Para calcular esse limite, vamos verificar se o valor da função se aproxima do mesmo número independentemente do caminho pelo qual se aproxima de . Isso significa que devemos analisar diferentes trajetórias que levam a .

Passo 3

Primeiro, consideremos o caminho onde 2 x cdot 0x^2 + 0^2 = 0x^2 = 0 . Substituindo na função:
Portanto, ao aproximar-se de ao longo do eixo , o limite é .

Passo 4

Agora, vamos considerar o caminho onde 2 cdot 0 cdot y0^2 + y^2 = 0y^2 = 0 . Substituindo na função:
Assim, ao aproximar-se de ao longo do eixo , o limite também é .

Passo 5

Vamos analisar outro caminho, por exemplo, 2 x cdot xx^2 + x^2 = 2x^22x^2 = 1 . Substituindo na função:
Neste caso, ao aproximar-se de ao longo da linha , o limite é .

Passo 6

Observamos que diferentes caminhos levam a valores diferentes para o limite. Como existem trajetórias que resultam em limites distintos (por exemplo, e ), concluímos que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite não existe.

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