Encontre as derivadas de segunda ordem para as funções abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar as derivadas de segunda ordem dessa função. Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais em relação a
e
duas vezes cada. Para resolver, vamos usar o conceito de derivadas parciais em cálculo multivariável.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a
.
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
novamente para encontrar a segunda derivada
.
Derivando em relação a
:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar
em relação a
para encontrar a derivada mista
.
Derivando em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Derivando
em relação a
:
Tratando
como constante:
Passo 6
Por fim, vamos derivar
em relação a
para encontrar a segunda derivada
.
Derivando em relação a
:
Resposta
As derivadas de segunda ordem da função são: