Encontre as derivadas de segunda ordem para as funções abaixo:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as derivadas de segunda ordem dessa função. Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais em relação a e duas vezes cada. Para resolver, vamos usar o conceito de derivadas parciais em cálculo multivariável.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de em relação a , que é . Para isso, tratamos como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a .
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a novamente para encontrar a segunda derivada .
Derivando em relação a :

Passo 4

Em seguida, vamos derivar em relação a para encontrar a derivada mista .
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a , que é .
Derivando em relação a :
Tratando como constante:

Passo 6

Por fim, vamos derivar em relação a para encontrar a segunda derivada .
Derivando em relação a :

Resposta

As derivadas de segunda ordem da função são:

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a)