Determine as derivadas parciais de 1º ordem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre derivadas parciais de primeira ordem. A função que vamos analisar é
. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especificamente a derivada de uma função composta e a derivada de logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos tratar
como uma constante.
Passo 3
A função
é o produto de
e
. Vamos usar a regra do produto para derivar:
Sabemos que
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente,
será tratado como uma constante.
Passo 7
A função
. Como
é constante em relação a
, a derivada será:
Passo 8
Derivando
em relação a
usando a regra da cadeia:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
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Calcule, caso exista, os seguintes limites:
Obtenha as menores determinações não negativas dos arcos.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Encontre as derivadas de segunda ordem para as funções abaixo:
Determine em radianos a medida do ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas.