Determine as derivadas parciais de 1º ordem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre derivadas parciais de primeira ordem. A função que vamos analisar é . Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, especificamente a derivada de uma função composta e a derivada de logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos tratar como uma constante.

Passo 3

A função é o produto de e . Vamos usar a regra do produto para derivar:
Sabemos que .

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, será tratado como uma constante.

Passo 7

A função . Como é constante em relação a , a derivada será:

Passo 8

Derivando em relação a usando a regra da cadeia:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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a)
b)
c)
d)
e)
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