Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(m) lim x 0 2^x-5^xsen(2 x)-sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, e para resolver isso, a gente vai precisar usar algumas técnicas como a regra de L’Hôpital e expansões em série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 2^0 -5^0sin(0) - sin(0) = 1 - 10 - 0 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos simplificar:
Obtemos uma forma indeterminada , então precisamos de outra estratégia.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada , uma técnica útil é aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
  • Derivada do numerador ddx(2^x) = 2^x ln 2 e ddx(5^x) = 5^x ln 5 :
2^x ln 2 - 5^x ln 5
Então, a derivada do numerador é:
ddx(sin(2x)) = 2 cos(2x) e ddx(sin(x)) = cos(x)
  • Derivada do denominador 2 cos(2x) - cos(x) :
Então, a derivada do denominador é:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
limx 0 2^x ln 2 - 5^x ln 52 cos(2x) - cos(x)

Passo 6

Vamos calcular esse novo limite substituindo 2^0 ln 2 - 5^0 ln 52 cos(0) - cos(0) = 1 cdot ln 2 - 1 cdot ln 52 cdot 1 - 1 = ln 2 - ln 52 - 1 = ln 2 - ln 5 :

Resposta

O limite é .

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