Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(m)
(m)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, e para resolver isso, a gente vai precisar usar algumas técnicas como a regra de L’Hôpital e expansões em série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver se conseguimos simplificar:
Obtemos uma forma indeterminada
, então precisamos de outra estratégia.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada
, uma técnica útil é aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas:
- Derivada do numerador
:
Então, a derivada do numerador é:
- Derivada do denominador
:
Então, a derivada do denominador é:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
Passo 6
Vamos calcular esse novo limite substituindo
:
Resposta
O limite é
.