Calcule a integral tripla.
integral triplaG cos (z / y) d V, onde G é o sólido definido pelas desigualdades pi / 6 <= y <= pi / 2, y <= x <= pi / 2,0 <= z <= x y.

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral tripla: . O sólido é definido pelas desigualdades , e . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, e vamos precisar entender um pouco sobre como configurar os limites de integração para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A variável varia de até . Para cada valor de , varia de até . E para cada par , varia de até . Isso significa que vamos integrar na ordem , , e depois .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral0^xy cos(zy) dz = y sin(xyy) - y sin(0) = y sin(x) . A função que vamos integrar é . A integral de em relação a é . Avaliando de a , temos:

Passo 4

Agora, nossa integral tripla virou uma integral dupla:
integralpi6^pi2 integraly^pi2 y sin(x) , dx , dy
Vamos integrar em relação a integraly^pi2 y sin(x) , dx = -y cos(pi2) + y cos(y) = y cos(y) . A integral de em relação a é . Avaliando de a , temos:
(Lembrando que )

Passo 5

Agora, nossa integral está reduzida a uma integral simples em relação a integralpi6^pi2 y cos(y) , dy :
integral y cos(y) , dy = y sin(y) - integral sin(y) , dy = y sin(y) + cos(y)
Para resolver isso, usamos integração por partes. Seja [ y sin(y) + cos(y) ]pi6^pi2 = ( pi2 cdot 1 + 0 ) - ( pi6 cdot 12 + raiz32 ) = pi2 - pi12 - raiz32 e pi2 - pi12 = 5pi12 , então 5pi12 - raiz32 e . Aplicando a fórmula:
Avaliado de a , temos:
Simplificando:
Portanto:

Resposta

A integral tripla vale .

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