Calcule a integral tripla.
, onde
é o sólido definido pelas desigualdades
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular essa integral tripla:
. O sólido
é definido pelas desigualdades
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, e vamos precisar entender um pouco sobre como configurar os limites de integração para cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A variável
varia de
até
. Para cada valor de
,
varia de
até
. E para cada par
,
varia de
até
. Isso significa que vamos integrar na ordem
,
, e depois
.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. A função que vamos integrar é
. A integral de
em relação a
é
. Avaliando de
a
, temos:
Passo 4
Agora, nossa integral tripla virou uma integral dupla:
Vamos integrar em relação a
. A integral de
em relação a
é
. Avaliando de
a
, temos:
(Lembrando que
)
Passo 5
Agora, nossa integral está reduzida a uma integral simples em relação a
:
Para resolver isso, usamos integração por partes. Seja
e
, então
e
. Aplicando a fórmula:
Avaliado de
a
, temos:
Simplificando:
Portanto:
Resposta
A integral tripla vale
.