Determinar a aproximação linear das seguintes funções, no ponto dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a aproximação linear da função
no ponto
. Isso faz parte da matéria de cálculo de funções de várias variáveis. Para fazer isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a aproximação linear. Basicamente, é uma forma de aproximar o valor da função perto de um ponto específico usando uma reta (ou, no caso de duas variáveis, um plano). A fórmula geral para a aproximação linear de uma função
no ponto
é:
Onde:
-
é o valor da função no ponto. -
é a derivada parcial em relação a no ponto. -
é a derivada parcial em relação a no ponto.
Passo 3
Vamos calcular cada parte da fórmula:
- Valor da função no ponto
:
- Derivada parcial em relação a
:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, avaliamos em
:
- Derivada parcial em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Avaliando em
:
Passo 4
Agora que temos todos os valores, vamos substituir na fórmula da aproximação linear:
Resposta
A aproximação linear da função
no ponto
é: