Determinar a aproximação linear das seguintes funções, no ponto dado. f(x, y) = e^x cos(x y) + 2 y, (0, 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a aproximação linear da função no ponto . Isso faz parte da matéria de cálculo de funções de várias variáveis. Para fazer isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a aproximação linear. Basicamente, é uma forma de aproximar o valor da função perto de um ponto específico usando uma reta (ou, no caso de duas variáveis, um plano). A fórmula geral para a aproximação linear de uma função no ponto é:
Onde:
  • é o valor da função no ponto.
  • é a derivada parcial em relação a no ponto.
  • é a derivada parcial em relação a no ponto.

Passo 3

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Valor da função no ponto :
  1. Derivada parcial em relação a :
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, avaliamos em :
  1. Derivada parcial em relação a :
Derivando em relação a :
Avaliando em :

Passo 4

Agora que temos todos os valores, vamos substituir na fórmula da aproximação linear:

Resposta

A aproximação linear da função no ponto é:

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