Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(v)
(v)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando
tende ao infinito de
. Isso está relacionado ao estudo de limites envolvendo potências e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da constante
e como ela se relaciona com limites desse tipo.
Passo 2
Primeiro, lembremos que
é uma constante matemática aproximadamente igual a 2,71828, e aparece frequentemente em cálculos que envolvem crescimento contínuo. Uma das definições importantes de
é:
Esse limite mostra como, ao aumentar
indefinidamente, a expressão
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos adaptar essa ideia para o nosso problema. Temos:
Perceba que dentro do parênteses, além de 1, temos
em vez de
. Isso significa que estamos aumentando a fração dentro do limite por um fator de 9.
Passo 4
Para lidar com esse fator de 9, podemos reescrever a expressão de uma forma que se pareça mais com a definição de
. Vamos fazer uma substituição: seja
. Então, quando
tende a infinito,
também tende a infinito. Vamos reescrever o limite em termos de
:
Passo 5
Agora, observamos que
tende a
conforme
tende ao infinito. Então, temos:
E já sabemos que
tende a
. Portanto:
Resposta
O limite é
.