Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(v) lim x +infty(1+9x)^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando tende ao infinito de . Isso está relacionado ao estudo de limites envolvendo potências e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da constante e como ela se relaciona com limites desse tipo.

Passo 2

Primeiro, lembremos que limx +infty (1 + 1x)^x = e é uma constante matemática aproximadamente igual a 2,71828, e aparece frequentemente em cálculos que envolvem crescimento contínuo. Uma das definições importantes de é:
Esse limite mostra como, ao aumentar indefinidamente, a expressão se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos adaptar essa ideia para o nosso problema. Temos:
limx +infty (1 + 9x)^x
Perceba que dentro do parênteses, além de 1, temos em vez de . Isso significa que estamos aumentando a fração dentro do limite por um fator de 9.

Passo 4

Para lidar com esse fator de 9, podemos reescrever a expressão de uma forma que se pareça mais com a definição de limy +infty (1 + 99y)^9y = limy +infty (1 + 1y)^9y . Vamos fazer uma substituição: seja . Então, quando tende a infinito, também tende a infinito. Vamos reescrever o limite em termos de :

Passo 5

Agora, observamos que (1 + 1y)^9y = [(1 + 1y)^y]^9 tende a [(1 + 1y)^y]^9 e^9 conforme tende ao infinito. Então, temos:
E já sabemos que tende a . Portanto:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados