Calcule, caso existam, o limite das seguintes seqüências: dada por: .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida assim: o primeiro termo é 2, ou seja, , e cada termo seguinte é a raiz quadrada do termo anterior, ou seja, . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência tem um limite quando tende ao infinito e, se tiver, qual é esse limite. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e propriedades das funções envolvidas, como a raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a sequência converge para um certo número . Se isso acontecer, tanto quanto vão se aproximar de quando for muito grande. Então, podemos escrever a relação de recursão usando :

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar . Para isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 4

Subtraindo de ambos os lados, ficamos com:

Passo 5

Isso nos dá duas soluções possíveis para :

Passo 6

Agora, precisamos verificar qual dessas soluções realmente faz sentido para a nossa sequência. Observando os termos da sequência:
Percebemos que a sequência está diminuindo e se aproximando de 1, nunca chegando a zero.

Passo 7

Além disso, se considerarmos o comportamento da função , sabemos que para , , e para , . Como nosso é maior que 1 e os próximos termos estão diminuindo, a sequência está convergindo para 1.

Resposta

O limite da sequência é .

Exercícios relacionados

Dada as seqüências abaixo: dada por: . Mostre que: é crescente.
Taxa efetiva Determine a taxa efetiva de juros correspondente à taxa nominal de por ano, capitalizados (a) anualmente, (b) semestralmente, © trimestralmente e (d) mensalmente.
Determine uma segunda solução da equação diferencial dada pelo método de redução de ordem.
Dada as seqüências abaixo: dada por: . Mostre que: é monótona crescente ou decrescente.