Calcule, caso existam, o limite das seguintes seqüências:
dada por:
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida assim: o primeiro termo é 2, ou seja,
, e cada termo seguinte é a raiz quadrada do termo anterior, ou seja,
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência tem um limite quando
tende ao infinito e, se tiver, qual é esse limite. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e propriedades das funções envolvidas, como a raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a sequência converge para um certo número
. Se isso acontecer, tanto
quanto
vão se aproximar de
quando
for muito grande. Então, podemos escrever a relação de recursão usando
:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Para isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
Subtraindo
de ambos os lados, ficamos com:
Passo 5
Isso nos dá duas soluções possíveis para
:
Passo 6
Agora, precisamos verificar qual dessas soluções realmente faz sentido para a nossa sequência. Observando os termos da sequência:
Percebemos que a sequência está diminuindo e se aproximando de 1, nunca chegando a zero.
Passo 7
Além disso, se considerarmos o comportamento da função
, sabemos que para
,
, e para
,
. Como nosso
é maior que 1 e os próximos termos estão diminuindo, a sequência está convergindo para 1.
Resposta
O limite da sequência é
.
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Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é crescente.
Taxa efetiva Determine a taxa efetiva de juros correspondente à taxa nominal de
por ano, capitalizados (a) anualmente, (b) semestralmente, © trimestralmente e (d) mensalmente.
Determine uma segunda solução da equação diferencial dada pelo método de redução de ordem.
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é monótona crescente ou decrescente.