Determine uma segunda solução da equação diferencial dada pelo método de redução de ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma segunda solução da equação diferencial
usando o método de redução de ordem. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e o método de redução de ordem. Já temos uma solução conhecida,
, e vamos usar isso para encontrar a segunda solução.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a segunda solução
pode ser escrita como
, onde
é uma função que precisamos determinar. Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
para substituir na equação diferencial original. Vamos encontrar a primeira e a segunda derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Isso nos dá uma equação mais simples para resolver
.
Passo 6
Integrando a equação
:
Integrando novamente:
Onde
e
são constantes de integração. Como estamos procurando uma segunda solução independente, podemos considerar
, ficando:
Resposta
A segunda solução da equação diferencial é:
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Calcule, caso existam, o limite das seguintes seqüências:
dada por:
.
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é crescente.
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é monótona crescente ou decrescente.
Calcule
, sendo :