Determine uma segunda solução da equação diferencial dada pelo método de redução de ordem.
y'' + 2y' + y = 0, y1(x) = e^(-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma segunda solução da equação diferencial usando o método de redução de ordem. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e o método de redução de ordem. Já temos uma solução conhecida, , e vamos usar isso para encontrar a segunda solução.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a segunda solução pode ser escrita como , onde é uma função que precisamos determinar. Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de para substituir na equação diferencial original. Vamos encontrar a primeira e a segunda derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Isso nos dá uma equação mais simples para resolver .

Passo 6

Integrando a equação :
Integrando novamente:
Onde e são constantes de integração. Como estamos procurando uma segunda solução independente, podemos considerar , ficando:

Resposta

A segunda solução da equação diferencial é:

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