Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é monótona crescente ou decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma sequência
onde o primeiro termo é
e cada termo seguinte é definido por
. Nosso trabalho é mostrar se essa sequência é monótona crescente ou decrescente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências monótonas e analisar como os termos se comportam em relação ao anterior.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser monótona crescente ou decrescente. Uma sequência é monótona crescente se cada termo for maior ou igual ao anterior, ou seja,
para todo
. Já é monótona decrescente se cada termo for menor ou igual ao anterior, ou seja,
para todo
.
Passo 3
Vamos começar calculando alguns termos para ver o que acontece. Sabemos que
. Então:
E assim por diante. Observando esses termos, parece que os valores estão diminuindo à medida que
aumenta, indicando uma possível sequência decrescente.
Passo 4
Para provar isso de forma geral, vamos assumir que
e mostrar que isso é válido para todo
. Ou seja, queremos provar que:
Multiplicando ambos os lados por
(que é positivo), temos:
Isso simplifica para:
Resolvendo a inequação quadrática
, encontramos as raízes:
Como
é positivo, consideramos apenas a raiz positiva:
Isso significa que enquanto
, a sequência estará decrescendo.
Passo 5
Além disso, podemos observar que a sequência está limitada abaixo por zero, já que todos os termos são obtidos por frações com denominador positivo. Uma sequência que é decrescente e limitada abaixo converge para um limite. Vamos chamar esse limite de
. Então:
Resolvendo essa equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como
é positivo, temos:
Isso confirma que a sequência está decrescendo em direção a esse valor.
Resposta
A sequência
definida por
e
é monótona decrescente.
Exercícios relacionados
Determine uma segunda solução da equação diferencial dada pelo método de redução de ordem.
Calcule, caso existam, o limite das seguintes seqüências:
dada por:
.
Calcule
, sendo :
Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é monótona crescente ou decrescente.