Dada as seqüências abaixo: x_n, n pertence a N dada por: x1 = raiz(a), xn+1 = 1 / (1 + xn). Mostre que: x_n, n pertence a N é monótona crescente ou decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma sequência (x_n) n pertence a N onde o primeiro termo é e cada termo seguinte é definido por . Nosso trabalho é mostrar se essa sequência é monótona crescente ou decrescente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências monótonas e analisar como os termos se comportam em relação ao anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser monótona crescente ou decrescente. Uma sequência é monótona crescente se cada termo for maior ou igual ao anterior, ou seja, para todo n. Já é monótona decrescente se cada termo for menor ou igual ao anterior, ou seja, para todo n.

Passo 3

Vamos começar calculando alguns termos para ver o que acontece. Sabemos que . Então:
E assim por diante. Observando esses termos, parece que os valores estão diminuindo à medida que n aumenta, indicando uma possível sequência decrescente.

Passo 4

Para provar isso de forma geral, vamos assumir que e mostrar que isso é válido para todo n. Ou seja, queremos provar que:
Multiplicando ambos os lados por (que é positivo), temos:
Isso simplifica para:
Resolvendo a inequação quadrática , encontramos as raízes:
Como xn é positivo, consideramos apenas a raiz positiva:
Isso significa que enquanto , a sequência estará decrescendo.

Passo 5

Além disso, podemos observar que a sequência está limitada abaixo por zero, já que todos os termos são obtidos por frações com denominador positivo. Uma sequência que é decrescente e limitada abaixo converge para um limite. Vamos chamar esse limite de L. Então:
Resolvendo essa equação:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como L é positivo, temos:
Isso confirma que a sequência está decrescendo em direção a esse valor.

Resposta

A sequência (x_n) n pertence a N definida por e é monótona decrescente.

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