Dada as seqüências abaixo: dada por: . Mostre que: é crescente.

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede: temos uma sequência definida por e . O objetivo é mostrar que essa sequência é crescente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressões e propriedades de sequências, além de indução matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os primeiros termos da sequência para observar seu comportamento:

  • Podemos ver que os termos estão aumentando.

Passo 3

Agora, para provar que toda sequência é crescente, vamos usar o Princípio da Indução Matemática. Isso envolve dois passos:
  1. Base da Indução: Mostrar que a propriedade é verdadeira para .
  2. Passo Indutivo: Assumir que é verdadeira para e mostrar que também é para .

Passo 4

Base da Indução:
Para ,
.
Como , a sequência é crescente para .

Passo 5

Passo Indutivo:
Assuma que para algum . Queremos mostrar que .
Sabemos que:

e
Como e todos os , então . Portanto:

Passo 6

Pelo Princípio da Indução Matemática, como a propriedade é verdadeira para e se sempre que é verdadeira para também é para , concluímos que a sequência é crescente para todo .

Resposta

A sequência é crescente para todo .

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