Dada as seqüências abaixo:
dada por:
. Mostre que:
é crescente.
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede: temos uma sequência definida por
e
. O objetivo é mostrar que essa sequência é crescente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressões e propriedades de sequências, além de indução matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os primeiros termos da sequência para observar seu comportamento:
-
-
-
-
Podemos ver que os termos estão aumentando.
Passo 3
Agora, para provar que toda sequência
é crescente, vamos usar o Princípio da Indução Matemática. Isso envolve dois passos:
- Base da Indução: Mostrar que a propriedade é verdadeira para
. - Passo Indutivo: Assumir que é verdadeira para
e mostrar que também é para .
Passo 4
Base da Indução:
Para ,
.
Como , a sequência é crescente para
.
Para
Como
Passo 5
Passo Indutivo:
Assuma que para algum
. Queremos mostrar que
.
Assuma que
Sabemos que:
e
e
Como
e todos os
, então
. Portanto:
Passo 6
Pelo Princípio da Indução Matemática, como a propriedade é verdadeira para
e se sempre que é verdadeira para
também é para
, concluímos que a sequência
é crescente para todo
.
Resposta
A sequência
é crescente para todo
.