Calcule, caso existam, os limites abaixo, usando os limites básicos, as leis dos limites e/ou teorema do confronto, justificando seu cálculo ( Não é permitido uso de Regra de Ld) lim x 27 3-raiz[3]xx-27

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite:
limx 27 3 - raiz[3]xx - 27
Esse tipo de limite envolve funções de radiciação e polinômios. Para resolver, vamos usar algumas leis de limites e técnicas algébricas básicas, sem precisar usar derivadas ou a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que acontece quando substituímos 3 - raiz[3]2727 - 27 = 3 - 30 = 00 diretamente na expressão:
Isso nos dá uma forma indeterminada , então precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão fazendo uma substituição. Seja 3 - yy^3 - 27 , então . Quando se aproxima de 27, se aproxima de 3. Substituindo na expressão original, temos:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador y^3 - 27 = (y - 3)(y^2 + 3y + 9) . Sabemos que 3 - y(y - 3)(y^2 + 3y + 9) = -(y - 3)(y - 3)(y^2 + 3y + 9) = -1y^2 + 3y + 9 . Aplicando isso:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite substituindo -1(3)^2 + 3(3) + 9 = -19 + 9 + 9 = -127 na expressão simplificada:

Resposta

limx 27 3 - raiz[3]xx - 27 = -127

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