Calcule, caso existam, os limites abaixo, usando os limites básicos, as leis dos limites e/ou teorema do confronto, justificando seu cálculo ( Não é permitido uso de Regra de Le)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de quando
se aproxima de 2. Isso está relacionado ao conteúdo de Limites, especificamente usando limites básicos, leis dos limites e o teorema do confronto. Vamos precisar entender como simplificar expressões e aplicar propriedades das funções trigonométricas e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Dá uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar ou manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos olhar para o denominador
. Podemos fatorar isso usando diferença de quadrados:
Então, o denominador fica
.
Passo 4
Agora, nossa expressão fica:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, a gente separou a fração em dois fatores para facilitar o cálculo do limite.
Passo 5
Vamos analisar cada parte separadamente. Primeiro, olhe para . Sabemos que:
Aqui,
. Quando
,
. Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite da segunda parte:
Resposta
Portanto, o limite é igual a
.
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