Calcule, caso existam, os limites abaixo, usando os limites básicos, as leis dos limites e/ou teorema do confronto, justificando seu cálculo ( Não é permitido uso de Regra de Le) lim x 2 sen(4-x^2)16-x^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de quando se aproxima de 2. Isso está relacionado ao conteúdo de Limites, especificamente usando limites básicos, leis dos limites e o teorema do confronto. Vamos precisar entender como simplificar expressões e aplicar propriedades das funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir sen(4 - (2)^2)16 - (2)^4 = sen(4 - 4)16 - 16 = sen(0)0 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Dá uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar ou manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos olhar para o denominador 16 - x^4 = (4)^2 - (x^2)^2 = (4 - x^2)(4 + x^2) . Podemos fatorar isso usando diferença de quadrados:
Então, o denominador fica .

Passo 4

Agora, nossa expressão fica:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, a gente separou a fração em dois fatores para facilitar o cálculo do limite.

Passo 5

Vamos analisar cada parte separadamente. Primeiro, olhe para . Sabemos que:
Aqui, limy to 0 sen yy = 1 . Quando limx to 2 sen(4 - x^2)4 - x^2 = 1 , . Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite da segunda parte:
limx to 2 14 + x^2 = 14 + (2)^2 = 14 + 4 = 18

Resposta

Portanto, o limite é igual a .

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