Calcule, caso existam, os limites abaixo, usando os limites básicos, as leis dos limites e/ou teorema do confronto, justificando seu cálculo ( Não é permitido uso de Regra de Lg) lim x 4^- (raizx-2)^2|x^2-16|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de 4 pela esquerda ( ). Vamos usar conceitos de limites básicos, leis dos limites e o teorema do confronto. Não vamos usar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Observa que x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) pode ser fatorado:
Então, o denominador fica .

Passo 3

Agora, analisando o numerador (raizx - 2)^2 = x - 4raizx + 4 . Podemos expandir isso:
Mas, para simplificar a análise, vamos manter a forma .

Passo 4

Vamos substituir o denominador na expressão original:
(raizx-2)^2|x^2-16| = (raizx-2)^2|(x - 4)(x + 4)|

Passo 5

Como estamos calculando o limite quando |(x - 4)(x + 4)| = |x - 4| cdot |x + 4| = (4 - x)(x + 4) se aproxima de 4 pela esquerda ( ), sabemos que . Portanto, será negativo e será positivo, já que está próximo de 4. Assim, a expressão absoluta no denominador fica:

Passo 6

Agora, a expressão do limite fica:
limx to 4^- (raizx-2)^2(4 - x)(x + 4)

Passo 7

Vamos analisar o comportamento de cada parte quando :
  • , então
  • (já que está se aproximando de 4 pela esquerda)

Passo 8

Agora, vamos reescrever o numerador de uma forma que possamos simplificar com o denominador. Observe que:
(raizx - 2)^2 = (raizx - 2)(raizx - 2)
Sabemos que pode ser aproximado para próximo de 4. Vamos fazer uma substituição: deixe , então quando , .
Então, e .

Passo 9

Substituindo na expressão:
raizx = raiz4 - h = 2 - h4 + termos de ordem superior
Portanto,
raizx - 2 approx -h4
E então,
(raizx - 2)^2 approx (-h4)^2 = h^216

Passo 10

Substituindo de volta na expressão do limite:
limh to 0^+ h^216h cdot (8 - h)
Simplificando:
limh to 0^+ h^216h(8 - h) = limh to 0^+ h16(8 - h)

Passo 11

Agora, podemos cancelar um h16(8 - h) = 116(8 - h) cdot h do numerador e denominador:
limh to 0^+ 116 cdot 8 cdot h = 1128 cdot 0 = 0
Quando , e , então:

Resposta

O limite é igual a 0.

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