Calcule, caso existam, os limites abaixo, usando os limites básicos, as leis dos limites e/ou teorema do confronto, justificando seu cálculo ( Não é permitido uso de Regra de Lg)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de 4 pela esquerda ( ). Vamos usar conceitos de limites básicos, leis dos limites e o teorema do confronto. Não vamos usar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Observa que pode ser fatorado:
Então, o denominador fica .

Passo 3

Agora, analisando o numerador . Podemos expandir isso:
Mas, para simplificar a análise, vamos manter a forma .

Passo 4

Vamos substituir o denominador na expressão original:

Passo 5

Como estamos calculando o limite quando se aproxima de 4 pela esquerda ( ), sabemos que . Portanto, será negativo e será positivo, já que está próximo de 4. Assim, a expressão absoluta no denominador fica:

Passo 6

Agora, a expressão do limite fica:

Passo 7

Vamos analisar o comportamento de cada parte quando :
  • , então
  • (já que está se aproximando de 4 pela esquerda)

Passo 8

Agora, vamos reescrever o numerador de uma forma que possamos simplificar com o denominador. Observe que:
Sabemos que pode ser aproximado para próximo de 4. Vamos fazer uma substituição: deixe , então quando , .
Então, e .

Passo 9

Substituindo na expressão:
Portanto,
E então,

Passo 10

Substituindo de volta na expressão do limite:
Simplificando:

Passo 11

Agora, podemos cancelar um do numerador e denominador:
Quando , e , então:

Resposta

O limite é igual a 0.

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