Calcule, caso existam, os limites abaixo, usando os limites básicos, as leis dos limites e/ou teorema do confronto, justificando seu cálculo ( Não é permitido uso de Regra de Lg)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de 4 pela esquerda (). Vamos usar conceitos de limites básicos, leis dos limites e o teorema do confronto. Não vamos usar a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Observa que pode ser fatorado:
Então, o denominador fica .
Passo 3
Agora, analisando o numerador . Podemos expandir isso:
Mas, para simplificar a análise, vamos manter a forma .
Passo 4
Vamos substituir o denominador na expressão original:
Passo 5
Como estamos calculando o limite quando se aproxima de 4 pela esquerda (), sabemos que . Portanto, será negativo e será positivo, já que está próximo de 4. Assim, a expressão absoluta no denominador fica:
Passo 6
Agora, a expressão do limite fica:
Passo 7
Vamos analisar o comportamento de cada parte quando :
, então
(já que está se aproximando de 4 pela esquerda)
Passo 8
Agora, vamos reescrever o numerador de uma forma que possamos simplificar com o denominador. Observe que:
Sabemos que pode ser aproximado para próximo de 4. Vamos fazer uma substituição: deixe , então quando , .
Então, e .
Passo 9
Substituindo na expressão:
Portanto,
E então,
Passo 10
Substituindo de volta na expressão do limite:
Simplificando:
Passo 11
Agora, podemos cancelar um do numerador e denominador: