Calcule, caso existam, os limites abaixo, usando os limites básicos, as leis dos limites e/ou teorema do confronto, justificando seu cálculo ( Não é permitido uso de Regra de Lg)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de 4 pela esquerda (). Vamos usar conceitos de limites básicos, leis dos limites e o teorema do confronto. Não vamos usar a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Observa que pode ser fatorado:
Então, o denominador fica .
Passo 3
Agora, analisando o numerador (raizx - 2)^2 = x - 4raizx + 4 . Podemos expandir isso:
Mas, para simplificar a análise, vamos manter a forma .
Passo 4
Vamos substituir o denominador na expressão original:
(raizx-2)^2|x^2-16| = (raizx-2)^2|(x - 4)(x + 4)|
Passo 5
Como estamos calculando o limite quando |(x - 4)(x + 4)| = |x - 4| cdot |x + 4| = (4 - x)(x + 4) se aproxima de 4 pela esquerda (), sabemos que . Portanto, será negativo e será positivo, já que está próximo de 4. Assim, a expressão absoluta no denominador fica:
Passo 6
Agora, a expressão do limite fica:
limx to 4^- (raizx-2)^2(4 - x)(x + 4)
Passo 7
Vamos analisar o comportamento de cada parte quando :
, então
(já que está se aproximando de 4 pela esquerda)
Passo 8
Agora, vamos reescrever o numerador de uma forma que possamos simplificar com o denominador. Observe que:
(raizx - 2)^2 = (raizx - 2)(raizx - 2)
Sabemos que pode ser aproximado para próximo de 4. Vamos fazer uma substituição: deixe , então quando , .
Então, e .
Passo 9
Substituindo na expressão:
raizx = raiz4 - h = 2 - h4 + termos de ordem superior
Portanto,
raizx - 2 approx -h4
E então,
(raizx - 2)^2 approx (-h4)^2 = h^216
Passo 10
Substituindo de volta na expressão do limite:
limh to 0^+ h^216h cdot (8 - h)
Simplificando:
limh to 0^+ h^216h(8 - h) = limh to 0^+ h16(8 - h)
Passo 11
Agora, podemos cancelar um h16(8 - h) = 116(8 - h) cdot h do numerador e denominador: