Calcule, caso existam, os limites abaixo, usando os limites básicos, as leis dos limites e/ou teorema do confronto, justificando seu cálculo ( Não é permitido uso de Regra de Li) lim t 2 raizt+2-24-t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o seguinte limite:
limt to 2 raizt + 2 - 24 - t^2
Aqui, estamos lidando com limites de funções que envolvem radiciação e polinômios. Para resolver, vamos precisar usar algumas propriedades básicas de limites e técnicas de álgebra para simplificar a expressão. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos substituir raiz2 + 2 - 24 - (2)^2 = raiz4 - 24 - 4 = 2 - 20 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Isso nos dá uma forma indeterminada , então precisamos manipular a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Uma técnica comum para lidar com expressões desse tipo é racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. No nosso caso, a expressão conjugada de raizt + 2 - 24 - t^2 times raizt + 2 + 2raizt + 2 + 2 é .
Então, multiplicamos a fração por :

Passo 4

Vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
Numerador:
(raizt + 2 - 2)(raizt + 2 + 2) = (raizt + 2)^2 - (2)^2 = (t + 2) - 4 = t - 2
Denominador:
(4 - t^2)(raizt + 2 + 2)
Então, a expressão fica:
t - 2(4 - t^2)(raizt + 2 + 2)

Passo 5

Agora, note que 4 - t^2 = (2 - t)(2 + t) = -(t - 2)(t + 2) pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
t - 2-(t - 2)(t + 2)(raizt + 2 + 2) = 1- (t + 2)(raizt + 2 + 2)
Substituindo de volta na expressão:
Cancelamos o no numerador e denominador.

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão resultante:
1- (t + 2)(raizt + 2 + 2) = -1(t + 2)(raizt + 2 + 2)
Agora, podemos calcular o limite substituindo -1(2 + 2)(raiz2 + 2 + 2) = -14 times (2 + 2) = -14 times 4 = -116 :

Resposta

O limite é igual a .

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