Calcule, caso existam, os limites a seguir: lim x -1 x^3-x^2-5 x-3x^3+4 x^2+5 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite aí:
lim x -1 x^3-x^2-5 x-3x^3+4 x^2+5 x+2
Estamos trabalhando com Cálculo de Limites, mais especificamente com limites envolvendo polinômios. Para resolver isso, vamos precisar avaliar o limite diretamente e, se der uma indeterminação, fatorar os polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir (-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 3 = -1 - 1 + 5 - 3 = 0 na expressão para ver se conseguimos resolver direto:
Numerador:
(-1)^3 + 4(-1)^2 + 5(-1) + 2 = -1 + 4 - 5 + 2 = 0
Denominador:
Obtemos a forma , que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Como estamos com (-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 3 = -1 - 1 + 5 - 3 = 0 , podemos usar o Teorema do Fator (ou Teorema das Raízes Racionais) para fatorar tanto o numerador quanto o denominador. Primeiro, vamos fatorar o numerador .
Testando :
Então, é um fator do numerador.

Passo 4

Vamos dividir o numerador por x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) usando a divisão polinomial ou a técnica de agrupamento:
(x + 1)^2 (x - 3)
Agora, fatorando :
Portanto, o numerador fatorado é:

Passo 5

Agora, vamos fatorar o denominador (-1)^3 + 4(-1)^2 + 5(-1) + 2 = -1 + 4 - 5 + 2 = 0 .
Testando x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) :
(x + 1)^2 (x + 2)
Então, também é um fator do denominador.
Dividindo o denominador por :
Fatorando :
Portanto, o denominador fatorado é:

Passo 6

Agora, substituímos os fatores fatorados na expressão original:
lim x -1 (x + 1)^2 (x - 3)(x + 1)^2 (x + 2)
Podemos cancelar lim x -1 x - 3x + 2 em cima e embaixo:

Passo 7

Agora, vamos substituir -1 - 3-1 + 2 = -41 = -4 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a .

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