O gradiente de f(x, y) = x^2 + y^4 é tangente à imagem da curva gamma(t) = (t^2, t) em um ponto P = gamma(t0) com t0 > 0. Considere a curva de nível de f que contém P. Encontre a equação da reta tangente a essa curva no ponto P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o gradiente de uma função e como ele é tangente à curva em um ponto específico , onde . A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva de nível de que passa por esse ponto .
Vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, principalmente sobre gradiente, curvas paramétricas e retas tangentes. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas do ponto . Sabemos que , então substituindo na curva :
Então, tem as coordenadas .

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é dado pelas derivadas parciais de em relação a e :
Então, no ponto , o gradiente é:

Passo 4

Vamos agora encontrar a derivada da curva em relação a , que nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto :
No ponto , o vetor tangente é:

Passo 5

Segundo o enunciado, o gradiente é tangente à curva no ponto . Isso significa que os vetores e são proporcionais. Ou seja, existe uma constante tal que:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos igualar as componentes dos vetores para encontrar e :
Agora, resolvendo :
Como , descartamos a solução e temos:

Passo 7

Com , podemos determinar as coordenadas do ponto :
E o gradiente no ponto é:

Passo 8

Agora, queremos encontrar a reta tangente à curva de nível de que passa por . A curva de nível de é definida por:
Então, a curva de nível é:
Para encontrar a reta tangente a essa curva no ponto , usamos o fato de que o gradiente é perpendicular à curva de nível. Assim, a equação da reta tangente pode ser escrita usando o vetor normal :
Substituindo os valores:
Calculando o produto escalar:
Multiplicando por 2 para simplificar:

Resposta

A equação da reta tangente à curva de nível de no ponto é:

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