O gradiente de
é tangente à imagem da curva
em um ponto
com
. Considere a curva de nível de
que contém
. Encontre a equação da reta tangente a essa curva no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o gradiente de uma função
e como ele é tangente à curva
em um ponto específico
, onde
. A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva de nível de
que passa por esse ponto
.
Vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, principalmente sobre gradiente, curvas paramétricas e retas tangentes. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas do ponto
. Sabemos que
, então substituindo
na curva
:
Então,
tem as coordenadas
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é dado pelas derivadas parciais de
em relação a
e
:
Então, no ponto
, o gradiente é:
Passo 4
Vamos agora encontrar a derivada da curva
em relação a
, que nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto
:
No ponto
, o vetor tangente é:
Passo 5
Segundo o enunciado, o gradiente
é tangente à curva
no ponto
. Isso significa que os vetores
e
são proporcionais. Ou seja, existe uma constante
tal que:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos igualar as componentes dos vetores para encontrar
e
:
Agora, resolvendo
:
Como
, descartamos a solução
e temos:
Passo 7
Com
, podemos determinar as coordenadas do ponto
:
E o gradiente no ponto
é:
Passo 8
Agora, queremos encontrar a reta tangente à curva de nível de
que passa por
. A curva de nível de
é definida por:
Então, a curva de nível é:
Para encontrar a reta tangente a essa curva no ponto
, usamos o fato de que o gradiente
é perpendicular à curva de nível. Assim, a equação da reta tangente pode ser escrita usando o vetor normal
:
Substituindo os valores:
Calculando o produto escalar:
Multiplicando por 2 para simplificar:
Resposta
A equação da reta tangente à curva de nível de
no ponto
é: