Usando o método Q R, no MATLAB, encontre os autovalores da matriz A abaixo.
A = [[5, -2, 3], [-2, 2, 1], [3, 1, -4]]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores da matriz A usando o método QR no MATLAB. Isso pertence à matéria de Álgebra Linear, e para resolver vamos precisar entender o que são autovalores, como funciona a decomposição QR e como aplicar isso no MATLAB.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre autovalores. Autovalores são valores que indicam por quanto um vetor (chamado de autovetor) é esticado ou encolhido quando uma matriz é aplicada a ele. Basicamente, se a matriz A atua em um autovetor v, o resultado é o autovetor v multiplicado por um escalar λ, que é o autovalor correspondente. Isso é representado pela equação:

Passo 3

Agora, sobre o método QR. O método QR é uma técnica iterativa usada para encontrar os autovalores de uma matriz. Ele funciona decompondo a matriz A em duas matrizes: Q (ortogonal) e R (triangular superior), e então formando uma nova matriz A a partir da multiplicação RQ. Esse processo é repetido várias vezes até que a matriz A convirja para uma forma triangular, onde os elementos na diagonal principal serão os autovalores.

Passo 4

Vamos ver como isso funciona no MATLAB. Primeiro, precisamos definir a matriz A:
A = [5 -2 3; -2 2 1; 3 1 -4];
Depois, usamos a função eig para encontrar os autovalores diretamente:
autovalores = eig(A);
Mas, como o exercício pede para usarmos o método QR manualmente, vamos implementar o algoritmo QR passo a passo.

Passo 5

Implementar o método QR no MATLAB envolve executar as seguintes etapas iterativamente:
  1. Decompor a matriz A atual em Q e R usando a decomposição QR.
  2. Atualizar A multiplicando R por Q.
  3. Repetir os passos 1 e 2 até que A se torne aproximadamente uma matriz triangular.
Aqui está um exemplo de como você pode fazer isso:
A = [5 -2 3; -2 2 1; 3 1 -4];
tolerancia = 1e-6;
maxIter = 1000;
iter = 0;

while iter < maxIter
    [Q, R] = qr(A);
    A_next = R * Q;
    if norm(A_next - A, 'fro') < tolerancia
        break;
    end
    A = A_next;
    iter = iter + 1;
end

autovalores = diag(A);
disp('Autovalores:');
disp(autovalores);

Passo 6

Rodando esse código no MATLAB, o algoritmo irá iterar até que a matriz A se torne quase triangular. Os valores na diagonal principal de A serão os autovalores da matriz original.

Resposta

Após executar o método QR no MATLAB, os autovalores da matriz A são aproximadamente:

Exercícios relacionados

Dadas as matrizes:
A=[ccc -3 & 2 & 4 1 & -4 & -1 1 & 1 & -6 ] e B=[ccc -3 & 1 & 0 1 & -4 & 2 0 & 2 & 2 ]
f) Usando o método da potência, calcule o autovalor de B que está mais próximo de 5 .
Calcule, caso existam, os limites a seguir: lim x +infty(x^3-x^2-x+1)
Seja f(x, y)=lx^3x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) ; 0 , se (x, y)=(0,0)
a. Mostre que f é contínua em (0,0).
b. Calcule partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).
c. f é diferenciável em (0,0) ?
d. partial fpartial x e partial fpartial y são contínuas em (0,0) ?
Calcule, caso existam, os limites a seguir: lim x -1 x^3-x^2-5 x-3x^3+4 x^2+5 x+2