Usando o método , no MATLAB, encontre os autovalores da matriz A abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores da matriz A usando o método QR no MATLAB. Isso pertence à matéria de Álgebra Linear, e para resolver vamos precisar entender o que são autovalores, como funciona a decomposição QR e como aplicar isso no MATLAB.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre autovalores. Autovalores são valores que indicam por quanto um vetor (chamado de autovetor) é esticado ou encolhido quando uma matriz é aplicada a ele. Basicamente, se a matriz A atua em um autovetor v, o resultado é o autovetor v multiplicado por um escalar λ, que é o autovalor correspondente. Isso é representado pela equação:
Passo 3
Agora, sobre o método QR. O método QR é uma técnica iterativa usada para encontrar os autovalores de uma matriz. Ele funciona decompondo a matriz A em duas matrizes: Q (ortogonal) e R (triangular superior), e então formando uma nova matriz A a partir da multiplicação RQ. Esse processo é repetido várias vezes até que a matriz A convirja para uma forma triangular, onde os elementos na diagonal principal serão os autovalores.
Passo 4
Vamos ver como isso funciona no MATLAB. Primeiro, precisamos definir a matriz A:
A = [5-23; -221; 31-4];
Depois, usamos a função eig para encontrar os autovalores diretamente:
autovalores = eig(A);
Mas, como o exercício pede para usarmos o método QR manualmente, vamos implementar o algoritmo QR passo a passo.
Passo 5
Implementar o método QR no MATLAB envolve executar as seguintes etapas iterativamente:
Decompor a matriz A atual em Q e R usando a decomposição QR.
Atualizar A multiplicando R por Q.
Repetir os passos 1 e 2 até que A se torne aproximadamente uma matriz triangular.
Aqui está um exemplo de como você pode fazer isso:
A = [5-23; -221; 31-4];
tolerancia = 1e-6;
maxIter = 1000;
iter = 0;
while iter < maxIter
[Q, R] = qr(A);
A_next = R * Q;
if norm(A_next - A, 'fro') < tolerancia
break;
end
A = A_next;
iter = iter + 1;
end
autovalores = diag(A);
disp('Autovalores:');
disp(autovalores);
Passo 6
Rodando esse código no MATLAB, o algoritmo irá iterar até que a matriz A se torne quase triangular. Os valores na diagonal principal de A serão os autovalores da matriz original.
Resposta
Após executar o método QR no MATLAB, os autovalores da matriz A são aproximadamente: