Sejam f: R -> R derivável e F: R^2 -> R dada por F(x, y) = x f(y). Considerando apenas as informações apresentadas, quais das afirmações abaixo são verdadeiras?
a. O eixo O y está contido em todos os planos tangentes ao gráfico de F em pontos da forma (0, y0, F(0, y0)).
b. O ponto (1, 1, 1) pertence a todos os planos tangentes ao gráfico de F em pontos da forma (0, y0, F(0, y0)).
c. As condições para que o plano z = x + y seja o plano tangente ao gráfico de F em (x0, y0) são: y0 = 0, f(0) = 1 e x0 f'(0) = 1.
d. O plano tangente ao gráfico de F nunca será paralelo ao plano z = 0.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função f: R -> R que é derivável, e uma função F: R^2 -> R definida por . O gráfico de F é uma superfície no espaço tridimensional. O exercício apresenta quatro afirmações sobre os planos tangentes a esse gráfico em certos pontos e pede para identificarmos quais são verdadeiras. Para resolver, vamos analisar cada afirmação passo a passo, usando conceitos de cálculo diferencial e geometria espacial.

Passo 2

Analisando a afirmação a:
A afirmação a diz que o eixo O y está contido em todos os planos tangentes ao gráfico de F em pontos da forma .
Vamos encontrar o plano tangente em um ponto . Primeiro, calculamos as derivadas parciais de F:
No ponto , temos:
A equação do plano tangente é:
Observando essa equação, vemos que quando x = 0, independente de y, . Portanto, todo ponto do eixo O y (onde x = 0 e ) está no plano tangente. Isso confirma que o eixo O y está contido em todos os planos tangentes considerados.

Passo 3

Analisando a afirmação b:
A afirmação b diz que o ponto (1, 1, 1) pertence a todos os planos tangentes ao gráfico de F em pontos da forma .
Usando a equação do plano tangente que encontramos anteriormente:
Vamos verificar se o ponto (1, 1, 1) satisfaz essa equação:
Para que esse ponto pertença a todos os planos tangentes, a igualdade deve valer para qualquer . Contudo, isso exigiria que para todo , o que não é garantido apenas pela informação de que f é derivável. Portanto, a afirmação não é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação c:
A afirmação c diz que as condições para que o plano seja o plano tangente ao gráfico de F em são: , e .
Vamos igualar a equação do plano tangente de F com o plano dado :
Para que isso seja válido para todos os (x, y) próximos a , precisamos que:
  1. Os coeficientes de x se igualem: .
  2. O termo independente em y no plano deve corresponder ao termo no plano tangente. Porém, na equação do plano tangente, não há termo dependente de y além de . Para que y apareça na equação, devemos ter condições adicionais sobre as derivadas.
Analisando melhor, para que o termo y apareça, devemos considerar a derivada parcial em y:
No ponto , isso contribui com . Para que o termo linear em y seja y, precisamos que e .
Portanto, as condições necessárias são , e , confirmando a veracidade da afirmação.

Passo 5

Analisando a afirmação d:
A afirmação d diz que o plano tangente ao gráfico de F nunca será paralelo ao plano .
Vamos entender quando dois planos são paralelos. Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais.
O plano tem vetor normal .
O plano tangente a F em tem equação:
Rearranjando:
O vetor normal desse plano é . Para ser paralelo ao plano , deve ser proporcional a (0, 0, 1), ou seja:
Se e , então o vetor normal seria , que é proporcional a . Portanto, é possível que o plano tangente seja paralelo a se essas condições forem satisfeitas. Logo, a afirmação de que isso nunca ocorre é falsa.

Resposta

As afirmações a e c são verdadeiras.

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