Sejam
derivável e
dada por
. Considerando apenas as informações apresentadas, quais das afirmações abaixo são verdadeiras?
a. O eixo
está contido em todos os planos tangentes ao gráfico de
em pontos da forma
.
b. O ponto
pertence a todos os planos tangentes ao gráfico de
em pontos da forma
.
c. As condições para que o plano
seja o plano tangente ao gráfico de
em
são:
e
.
d. O plano tangente ao gráfico de
nunca será paralelo ao plano
.
a. O eixo
b. O ponto
c. As condições para que o plano
d. O plano tangente ao gráfico de
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
que é derivável, e uma função
definida por
. O gráfico de
é uma superfície no espaço tridimensional. O exercício apresenta quatro afirmações sobre os planos tangentes a esse gráfico em certos pontos e pede para identificarmos quais são verdadeiras. Para resolver, vamos analisar cada afirmação passo a passo, usando conceitos de cálculo diferencial e geometria espacial.
Passo 2
Analisando a afirmação a:
A afirmação a diz que o eixo
está contido em todos os planos tangentes ao gráfico de
em pontos da forma
.
Vamos encontrar o plano tangente em um ponto
. Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
:
No ponto
, temos:
A equação do plano tangente é:
Observando essa equação, vemos que quando
, independente de
,
. Portanto, todo ponto do eixo
(onde
e
) está no plano tangente. Isso confirma que o eixo
está contido em todos os planos tangentes considerados.
Passo 3
Analisando a afirmação b:
A afirmação b diz que o ponto
pertence a todos os planos tangentes ao gráfico de
em pontos da forma
.
Usando a equação do plano tangente que encontramos anteriormente:
Vamos verificar se o ponto
satisfaz essa equação:
Para que esse ponto pertença a todos os planos tangentes, a igualdade deve valer para qualquer
. Contudo, isso exigiria que
para todo
, o que não é garantido apenas pela informação de que
é derivável. Portanto, a afirmação não é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação c:
A afirmação c diz que as condições para que o plano
seja o plano tangente ao gráfico de
em
são:
,
e
.
Vamos igualar a equação do plano tangente de
com o plano dado
:
Para que isso seja válido para todos os
próximos a
, precisamos que:
- Os coeficientes de
se igualem: . - O termo independente em
no plano deve corresponder ao termo no plano tangente. Porém, na equação do plano tangente, não há termo dependente de além de . Para que apareça na equação, devemos ter condições adicionais sobre as derivadas.
Analisando melhor, para que o termo
apareça, devemos considerar a derivada parcial em
:
No ponto
, isso contribui com
. Para que o termo linear em
seja
, precisamos que
e
.
Portanto, as condições necessárias são
,
e
, confirmando a veracidade da afirmação.
Passo 5
Analisando a afirmação d:
A afirmação d diz que o plano tangente ao gráfico de
nunca será paralelo ao plano
.
Vamos entender quando dois planos são paralelos. Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais.
O plano
tem vetor normal
.
O plano tangente a
em
tem equação:
Rearranjando:
O vetor normal desse plano é
. Para ser paralelo ao plano
, deve ser proporcional a
, ou seja:
Se
e
, então o vetor normal seria
, que é proporcional a
. Portanto, é possível que o plano tangente seja paralelo a
se essas condições forem satisfeitas. Logo, a afirmação de que isso nunca ocorre é falsa.
Resposta
As afirmações a e c são verdadeiras.
Exercícios relacionados
Calcule, caso existam, os limites a seguir:
Seja
a. Mostre que é contínua em
.
b. Calcule e
.
c. é diferenciável em
?
d. e
são contínuas em
?
a. Mostre que
b. Calcule
c.
d.
O gradiente de
é tangente à imagem da curva
em um ponto
com
. Considere a curva de nível de
que contém
. Encontre a equação da reta tangente a essa curva no ponto
.
Calcule
e
pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição seguida de aplicação das regras de derivação parcial.
a. .
b. .
a.
b.