Seja
a. Mostre que é contínua em .
b. Calcule e .
c. é diferenciável em ?
d. e são contínuas em ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui envolve uma função de duas variáveis, , que está definida de duas maneiras diferentes dependendo de . O objetivo é verificar propriedades como continuidade, derivadas parciais, diferenciabilidade e a continuidade dessas derivadas no ponto . Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como limites, definição de continuidade, derivadas parciais e diferenciabilidade.
Passo 2
a. Mostrar que é contínua em .
Primeiro, para verificar a continuidade de em , precisamos mostrar que o limite de quando se aproxima de é igual ao valor de , que é 0.
Vamos calcular:
Observando que o denominador é sempre positivo exceto em , e o numerador tende a 0 mais rápido que o denominador à medida que tende a .
Uma forma de ver isso é usando desigualdades. Sabemos que e . Então:
Quando , , então o limite também tende a 0.
Passo 3
b. Calcular partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h e f(h, 0) = h^3h^2 + 0^2 = h .
Vamos começar com a derivada parcial em relação a partial fpartial x(0,0) = limh to 0 h - 0h = limh to 0 1 = 1 no ponto partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k .
A definição da derivada parcial de f(0, k) = 0^30^2 + k^2 = 0 em partial fpartial y(0,0) = limk to 0 0 - 0k = 0 em é:
Calculando :
Então:
Agora, a derivada parcial em relação a no ponto :
Calculando :
Então:
Passo 4
c. lim(h,k) to (0,0) f(h,k) - f(0,0) - partial fpartial x(0,0) h - partial fpartial y(0,0) kraizh^2 + k^2 = 0 é diferenciável em lim(h,k) to (0,0) h^3h^2 + k^2 - hraizh^2 + k^2 ?
Para verificar se h^3 - h(h^2 + k^2)(h^2 + k^2)^3/2 = -h k^2(h^2 + k^2)^3/2 é diferenciável em | -h k^2(h^2 + k^2)^3/2 | <= |h| cdot k^2(h^2 + k^2)^3/2 <= |h| cdot (h^2 + k^2)(h^2 + k^2)^3/2 = |h|raizh^2 + k^2 <= 1 , precisamos verificar se existe uma aproximação linear que descreve -h k^2(h^2 + k^2)^3/2 = -h h^2(2h^2)^3/2 = -h^32^3/2 h^3 = -12^3/2 neq 0 perto desse ponto. Formalmente, é diferenciável em se:
Usando os valores das derivadas parciais que encontramos:
Simplificando:
Calculando o limite:
No entanto, esse limite nem sempre tende a 0, dependendo da trajetória escolhida. Por exemplo, se , então:
Portanto, o limite não é 0, o que implica que não é diferenciável em .
Vamos analisar a continuidade das derivadas parciais em partial fpartial y(x,y) = -x^3 cdot 2y(x^2 + y^2)^2 = -2x^3 y(x^2 + y^2)^2 .
Para lim(x,y) to (0,0) -2x^3 y(x^2 + y^2)^2 :
Já sabemos que -2 r^4 cos^3 theta sin thetar^4 = -2 cos^3 theta sin theta . Vamos verificar o limite de quando .
Calculando a derivada parcial em para :
Calculando o limite:
Usando coordenadas polares , :
Esse limite depende de , portanto, não existe um único valor limite. Por exemplo, para , o limite é ; para , o limite é . No entanto, para outras trajetórias, pode variar, indicando que o limite não existe de forma consistente. Portanto, não é contínua em .
Para :
Já vimos que . Vamos calcular a derivada parcial em para :
Calculando o limite:
Usando novamente coordenadas polares:
Esse limite também depende de , o que significa que não existe um único valor limite. Portanto, não é contínua em .