Seja f(x, y)=lx^3x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) ; 0 , se (x, y)=(0,0)
a. Mostre que f é contínua em (0,0).
b. Calcule partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).
c. f é diferenciável em (0,0) ?
d. partial fpartial x e partial fpartial y são contínuas em (0,0) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui envolve uma função de duas variáveis, , que está definida de duas maneiras diferentes dependendo de . O objetivo é verificar propriedades como continuidade, derivadas parciais, diferenciabilidade e a continuidade dessas derivadas no ponto . Para resolver tudo isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como limites, definição de continuidade, derivadas parciais e diferenciabilidade.

Passo 2

a. Mostrar que lim(x,y) to (0,0) x^3x^2 + y^2 é contínua em | x^3x^2 + y^2 | <= |x|^3x^2 = |x| .
Primeiro, para verificar a continuidade de em , precisamos mostrar que o limite de quando se aproxima de é igual ao valor de , que é 0.
Vamos calcular:
Observando que o denominador é sempre positivo exceto em , e o numerador tende a 0 mais rápido que o denominador à medida que tende a .
Uma forma de ver isso é usando desigualdades. Sabemos que e . Então:
Quando , , então o limite também tende a 0.

Passo 3

b. Calcular partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h e f(h, 0) = h^3h^2 + 0^2 = h .
Vamos começar com a derivada parcial em relação a partial fpartial x(0,0) = limh to 0 h - 0h = limh to 0 1 = 1 no ponto partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k .
A definição da derivada parcial de f(0, k) = 0^30^2 + k^2 = 0 em partial fpartial y(0,0) = limk to 0 0 - 0k = 0 em é:
Calculando :
Então:
Agora, a derivada parcial em relação a no ponto :
Calculando :
Então:

Passo 4

c. lim(h,k) to (0,0) f(h,k) - f(0,0) - partial fpartial x(0,0) h - partial fpartial y(0,0) kraizh^2 + k^2 = 0 é diferenciável em lim(h,k) to (0,0) h^3h^2 + k^2 - hraizh^2 + k^2 ?
Para verificar se h^3 - h(h^2 + k^2)(h^2 + k^2)^3/2 = -h k^2(h^2 + k^2)^3/2 é diferenciável em | -h k^2(h^2 + k^2)^3/2 | <= |h| cdot k^2(h^2 + k^2)^3/2 <= |h| cdot (h^2 + k^2)(h^2 + k^2)^3/2 = |h|raizh^2 + k^2 <= 1 , precisamos verificar se existe uma aproximação linear que descreve -h k^2(h^2 + k^2)^3/2 = -h h^2(2h^2)^3/2 = -h^32^3/2 h^3 = -12^3/2 neq 0 perto desse ponto. Formalmente, é diferenciável em se:
Usando os valores das derivadas parciais que encontramos:
Simplificando:
Calculando o limite:
No entanto, esse limite nem sempre tende a 0, dependendo da trajetória escolhida. Por exemplo, se , então:
Portanto, o limite não é 0, o que implica que não é diferenciável em .

Passo 5

d. partial fpartial x(x,y) = (3x^2)(x^2 + y^2) - x^3(2x)(x^2 + y^2)^2 = 3x^4 + 3x^2 y^2 - 2x^4(x^2 + y^2)^2 = x^4 + 3x^2 y^2(x^2 + y^2)^2 e lim(x,y) to (0,0) x^4 + 3x^2 y^2(x^2 + y^2)^2 são contínuas em r^4 cos^4 theta + 3 r^4 cos^2 theta sin^2 thetar^4 = cos^4 theta + 3 cos^2 theta sin^2 theta ?
Vamos analisar a continuidade das derivadas parciais em partial fpartial y(x,y) = -x^3 cdot 2y(x^2 + y^2)^2 = -2x^3 y(x^2 + y^2)^2 .
Para lim(x,y) to (0,0) -2x^3 y(x^2 + y^2)^2 :
Já sabemos que -2 r^4 cos^3 theta sin thetar^4 = -2 cos^3 theta sin theta . Vamos verificar o limite de quando .
Calculando a derivada parcial em para :
Calculando o limite:
Usando coordenadas polares , :
Esse limite depende de , portanto, não existe um único valor limite. Por exemplo, para , o limite é ; para , o limite é . No entanto, para outras trajetórias, pode variar, indicando que o limite não existe de forma consistente. Portanto, não é contínua em .
Para :
Já vimos que . Vamos calcular a derivada parcial em para :
Calculando o limite:
Usando novamente coordenadas polares:
Esse limite também depende de , o que significa que não existe um único valor limite. Portanto, não é contínua em .

Resposta

a. é contínua em .
b. As derivadas parciais em são e .
c. não é diferenciável em .
d. As derivadas parciais e não são contínuas em .

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