Calcule, caso existam, os limites a seguir: lim h 0 raiz3+h-raiz3h

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Para resolver isso, vamos usar o conceito de limites e uma técnica chamada racionalização, que ajuda a simplificar expressões com raízes quadradas.

Passo 2

O próximo passo é racionalizar o numerador. Isso significa que vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pela expressão conjugada do numerador. No nosso caso, a expressão conjugada de é .

Passo 3

Agora, multiplicamos a expressão original pela conjugada:
raiz3+h - raiz3h times raiz3+h + raiz3raiz3+h + raiz3 = (raiz3+h)^2 - (raiz3)^2h (raiz3+h + raiz3)
Aqui, usamos a identidade , que nos ajuda a eliminar as raízes do numerador.

Passo 4

Simplificando o numerador:
(raiz3+h)^2 - (raiz3)^2 = (3 + h) - 3 = h
Então, o numerador fica apenas .

Passo 5

Substituímos o numerador simplificado na expressão:
hh (raiz3+h + raiz3) = 1raiz3+h + raiz3
Aqui, cancelamos o que está no numerador e no denominador, deixando a expressão mais simples.

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite quando limh to 0 1raiz3+0 + raiz3 = 12raiz3 se aproxima de 0:
Substituímos por 0 e simplificamos a expressão final.

Resposta

Portanto, o limite é .

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