Encontre os extremos globais da função f(x, y) = x*y - 2*x na região triangular de vértices (0, 0), (0, 4) e 4,0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os extremos globais da função dentro de um triângulo com vértices em , e . Isso se encaixa no conteúdo de cálculo multivariável, especificamente otimização em regiões fechadas. Para resolver, vamos precisar achar os pontos críticos dentro da região e também verificar os valores nas bordas do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região. Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e igualá-las a zero.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Igualando as duas a zero:
Então, o único ponto crítico dentro da região é .

Passo 3

Agora, vamos avaliar o valor da função nesse ponto crítico:
Esse é um dos candidatos para extremos globais.

Passo 4

Em seguida, precisamos verificar os valores da função nas bordas do triângulo. O triângulo tem três lados:
  1. De a — onde .
  2. De a — onde .
  3. De a — onde .
Vamos analisar cada um:
Borda 1:
Para qualquer entre 0 e 4, .
Borda 2:
Substituindo na função:
Agora, para encontrar os extremos dessa função em entre 0 e 4, derivamos:
Igualando a zero:
Então, .
Calculando :
Borda 3:
Para entre 0 e 4, varia de 0 a -8.

Passo 5

Agora, vamos resumir os valores encontrados:
  • No ponto crítico :
  • Na borda : para todo
  • Na borda :
  • Na borda : varia de 0 a -8

Resposta

Os extremos globais da função na região triangular são:
  • Máximo global em com
  • Mínimo global em com .

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