Encontre os extremos globais da função
na região triangular de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os extremos globais da função
dentro de um triângulo com vértices em
,
e
. Isso se encaixa no conteúdo de cálculo multivariável, especificamente otimização em regiões fechadas. Para resolver, vamos precisar achar os pontos críticos dentro da região e também verificar os valores nas bordas do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região. Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e igualá-las a zero.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Igualando as duas a zero:
Então, o único ponto crítico dentro da região é
.
Passo 3
Agora, vamos avaliar o valor da função nesse ponto crítico:
Esse é um dos candidatos para extremos globais.
Passo 4
Em seguida, precisamos verificar os valores da função nas bordas do triângulo. O triângulo tem três lados:
- De
a — onde . - De
a — onde . - De
a — onde .
Vamos analisar cada um:
Borda 1:
Para qualquer
entre 0 e 4,
.
Borda 2:
Substituindo na função:
Substituindo na função:
Agora, para encontrar os extremos dessa função em
entre 0 e 4, derivamos:
Igualando a zero:
Então,
.
Calculando
:
Borda 3:
Para
entre 0 e 4,
varia de 0 a -8.
Passo 5
Agora, vamos resumir os valores encontrados:
- No ponto crítico
: - Na borda
: para todo - Na borda
: - Na borda
: varia de 0 a -8
Resposta
Os extremos globais da função
na região triangular são:
- Máximo global em
com - Mínimo global em
com .
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c)
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